লগারিদম সূত্র। লগারিদম উদাহরণ সমাধান. লগারিদমের বৈশিষ্ট্য এবং তাদের সমাধানের উদাহরণ। ব্যাপক নির্দেশিকা (2019) লগারিদম ক্ষমতা এবং তাদের বৈশিষ্ট্য

বেস সহ লগারিদম a y এর একটি ফাংশন (x) = লগ a x, বেস a সহ সূচকীয় ফাংশনের বিপরীত: x (y) = a y.

দশমিক লগারিদমএকটি সংখ্যার ভিত্তির লগারিদম 10 : লগ x ≡ লগ 10 x.

প্রাকৃতিক লগারিদম e এর বেসের লগারিদম হল: ln x ≡ লগ e x.

2,718281828459045... ;
.

লগারিদমের গ্রাফটি সূচকীয় ফাংশনের গ্রাফ থেকে সরলরেখা y = x এর সাপেক্ষে মিরর করে প্রাপ্ত হয়। বাম দিকে y ফাংশনের গ্রাফ রয়েছে (x) = লগ a xচারটি মানের জন্য লগারিদম বেস: a = 2 , a = 8 , a = 1/2 এবং একটি = 1/8 . গ্রাফ দেখায় যে যখন একটি > 1 লগারিদম একঘেয়েভাবে বৃদ্ধি পায়। x বাড়ার সাথে সাথে বৃদ্ধি উল্লেখযোগ্যভাবে হ্রাস পায়। এ 0 < a < 1 লগারিদম একঘেয়েভাবে হ্রাস পায়।

লগারিদমের বৈশিষ্ট্য

ডোমেন, মান সেট, বৃদ্ধি, হ্রাস

লগারিদম একটি একঘেয়ে ফাংশন, তাই এটির কোন এক্সট্রিমা নেই। লগারিদমের প্রধান বৈশিষ্ট্যগুলি টেবিলে উপস্থাপন করা হয়েছে।

ব্যক্তিগত মান

বেস 10 থেকে লগারিদম বলা হয় দশমিক লগারিদমএবং নিম্নলিখিত হিসাবে চিহ্নিত করা হয়:

লগারিদম থেকে বেস eডাকা প্রাকৃতিক লগারিদম:

লগারিদমের জন্য মৌলিক সূত্র

বিপরীত ফাংশনের সংজ্ঞা থেকে উদ্ভূত লগারিদমের বৈশিষ্ট্য:

লগারিদমের প্রধান বৈশিষ্ট্য এবং এর ফলাফল

বেস প্রতিস্থাপন সূত্র

লগারিদমলগারিদম নেওয়ার গাণিতিক অপারেশন। লগারিদম নেওয়ার সময়, গুণনীয়কগুলির পণ্যগুলি পদের যোগফলগুলিতে রূপান্তরিত হয়।

সম্ভাবনালগারিদমের বিপরীত গাণিতিক ক্রিয়াকলাপ। পোটেনসিয়েশনের সময়, একটি প্রদত্ত বেস অভিব্যক্তির ডিগ্রি পর্যন্ত উত্থাপিত হয় যার উপর পোটেনশিয়ান সঞ্চালিত হয়। এই ক্ষেত্রে, পদগুলির যোগফল গুণনীয়কগুলির পণ্যগুলিতে রূপান্তরিত হয়।

লগারিদমের মৌলিক সূত্রের প্রমাণ

লগারিদম সম্পর্কিত সূত্রগুলি সূচকীয় ফাংশনের সূত্র থেকে এবং একটি বিপরীত ফাংশনের সংজ্ঞা থেকে অনুসরণ করে।

সূচকীয় ফাংশনের বৈশিষ্ট্য বিবেচনা করুন
.
তারপর
.
সূচকীয় ফাংশনের বৈশিষ্ট্য প্রয়োগ করা যাক
:
.

বেস প্রতিস্থাপন সূত্র প্রমাণ করা যাক।
;
.
ধরে নিলাম c = b, আমাদের আছে:

বিপরীত ফাংশন

একটি লগারিদমের বিপরীত একটি বেস a সূচক a সহ একটি সূচকীয় ফাংশন।

যদি, তাহলে

যদি, তাহলে

লগারিদমের ডেরিভেটিভ

মডুলাস x এর লগারিদমের ডেরিভেটিভ:
.
nম অর্ডারের ডেরিভেটিভ:
.
সূত্র প্রাপ্ত করা >>>

লগারিদমের ডেরিভেটিভ খুঁজে পেতে, এটিকে বেসে কমিয়ে আনতে হবে e.
;
.

অখণ্ড

লগারিদমের অখণ্ড অংশগুলি দ্বারা সংহত করে গণনা করা হয়: .
তাই,

জটিল সংখ্যা ব্যবহার করে অভিব্যক্তি

জটিল সংখ্যা ফাংশন বিবেচনা করুন z:
.
একটি জটিল সংখ্যা প্রকাশ করা যাক zমডিউল মাধ্যমে rএবং যুক্তি φ :
.
তারপর, লগারিদমের বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে, আমাদের আছে:
.
বা

যাইহোক, যুক্তি φ স্বতন্ত্রভাবে সংজ্ঞায়িত নয়। রাখলে
, যেখানে n একটি পূর্ণসংখ্যা,
তারপর এটি বিভিন্ন জন্য একই সংখ্যা হবে n.

অতএব, লগারিদম, একটি জটিল চলকের একটি ফাংশন হিসাবে, একটি একক-মূল্যবান ফাংশন নয়।

পাওয়ার সিরিজ সম্প্রসারণ

যখন সম্প্রসারণ ঘটে:

তথ্যসূত্র:
ভিতরে. ব্রনস্টেইন, কে.এ. সেমেনদিয়াভ, ইঞ্জিনিয়ার এবং কলেজ ছাত্রদের জন্য গণিতের হ্যান্ডবুক, "ল্যান", 2009।

প্রধান বৈশিষ্ট্য.

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y)।

অভিন্ন ভিত্তি

Log6 4 + log6 9.

এখন কাজটা একটু জটিল করা যাক।

লগারিদম সমাধানের উদাহরণ

লগারিদমের ভিত্তি বা যুক্তি একটি শক্তি হলে কি হবে? তাহলে নিম্নোক্ত নিয়ম অনুসারে লগারিদমের চিহ্ন থেকে এই ডিগ্রির সূচককে বের করা যেতে পারে:

অবশ্যই, লগারিদমের ODZ পরিলক্ষিত হলে এই সমস্ত নিয়মগুলি বোঝা যায়: a > 0, a ≠ 1, x >

টাস্ক। অভিব্যক্তির অর্থ খুঁজুন:

একটি নতুন ভিত্তি পরিবর্তন

লগারিদম logax দেওয়া যাক. তারপর c > 0 এবং c ≠ 1 যেকোন সংখ্যার জন্য, সমতা সত্য:

টাস্ক। অভিব্যক্তির অর্থ খুঁজুন:

আরো দেখুন:

লগারিদমের মৌলিক বৈশিষ্ট্য

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

সূচক হল 2.718281828... সূচকটি মনে রাখার জন্য, আপনি নিয়মটি অধ্যয়ন করতে পারেন: সূচকটি 2.7 এর সমান এবং লিও নিকোলাভিচ টলস্টয়ের জন্মের বছরের দ্বিগুণ।

লগারিদমের মৌলিক বৈশিষ্ট্য

এই নিয়মটি জানলে, আপনি সূচকের সঠিক মান এবং লিও টলস্টয়ের জন্ম তারিখ উভয়ই জানতে পারবেন।

লগারিদমের উদাহরণ

লগারিদম এক্সপ্রেশন

উদাহরণ 1.
ক)। x=10ac^2 (a>0,c>0)।

বৈশিষ্ট্য 3.5 ব্যবহার করে আমরা গণনা করি

2.

3.

4. কোথায় .

উদাহরণ 2. যদি x খুঁজুন

উদাহরণ 3. লগারিদমের মান দেওয়া যাক

লগ (x) গণনা করুন যদি

লগারিদমের মৌলিক বৈশিষ্ট্য

লগারিদম, যেকোনো সংখ্যার মতোই, যোগ, বিয়োগ এবং রূপান্তরিত হতে পারে। কিন্তু লগারিদমগুলো যেহেতু ঠিক সাধারণ সংখ্যা নয়, তাই এখানে নিয়ম আছে, যেগুলোকে বলা হয় প্রধান বৈশিষ্ট্য.

আপনাকে অবশ্যই এই নিয়মগুলি জানতে হবে - এগুলি ছাড়া, একটি গুরুতর লগারিদমিক সমস্যা সমাধান করা যাবে না। উপরন্তু, তাদের মধ্যে খুব কম আছে - আপনি একদিনে সবকিছু শিখতে পারেন। চল শুরু করা যাক.

লগারিদম যোগ এবং বিয়োগ

একই বেস সহ দুটি লগারিদম বিবেচনা করুন: logax এবং logay। তারপর তারা যোগ এবং বিয়োগ করা যেতে পারে, এবং:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y)।

সুতরাং, লগারিদমের যোগফল গুণফলের লগারিদমের সমান এবং পার্থক্যটি ভাগফলের লগারিদমের সমান। অনুগ্রহ করে মনে রাখবেন: এখানে মূল পয়েন্ট হল অভিন্ন ভিত্তি. কারণ ভিন্ন হলে এই নিয়মগুলো কাজ করে না!

এই সূত্রগুলি আপনাকে লগারিদমিক অভিব্যক্তি গণনা করতে সাহায্য করবে এমনকি যখন এর পৃথক অংশগুলি বিবেচনা করা হয় না (পাঠটি দেখুন "লগারিদম কী")। উদাহরণগুলি দেখুন এবং দেখুন:

যেহেতু লগারিদমের একই ভিত্তি রয়েছে, তাই আমরা যোগফল সূত্রটি ব্যবহার করি:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2।

টাস্ক। রাশিটির মান খুঁজুন: log2 48 − log2 3।

ভিত্তিগুলি একই, আমরা পার্থক্য সূত্র ব্যবহার করি:
log2 48 − log2 3 = log2 (48:3) = log2 16 = 4।

টাস্ক। রাশিটির মান খুঁজুন: log3 135 − log3 5।

আবার ঘাঁটি একই, তাই আমাদের আছে:
log3 135 − log3 5 = log3 (135:5) = log3 27 = 3।

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, মূল অভিব্যক্তিগুলি "খারাপ" লগারিদম দিয়ে তৈরি, যা আলাদাভাবে গণনা করা হয় না। কিন্তু রূপান্তরের পরে, সম্পূর্ণ স্বাভাবিক সংখ্যা প্রাপ্ত হয়। এই সত্যের উপর ভিত্তি করে অনেক পরীক্ষা করা হয়। হ্যাঁ, ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষায় পরীক্ষার মতো অভিব্যক্তিগুলি সমস্ত গুরুত্ব সহকারে (কখনও কখনও কার্যত কোনও পরিবর্তন ছাড়াই) দেওয়া হয়।

লগারিদম থেকে সূচক বের করা হচ্ছে

এটি দেখতে সহজ যে শেষ নিয়মটি প্রথম দুটি অনুসরণ করে। তবে যাইহোক এটি মনে রাখা ভাল - কিছু ক্ষেত্রে এটি গণনার পরিমাণ উল্লেখযোগ্যভাবে হ্রাস করবে।

অবশ্যই, লগারিদমের ODZ পরিলক্ষিত হলে এই সমস্ত নিয়মগুলি বোঝা যায়: a > 0, a ≠ 1, x > 0। এবং আরও একটি জিনিস: সমস্ত সূত্র শুধু বাম থেকে ডানে নয়, উল্টোটাও প্রয়োগ করতে শিখুন। , অর্থাৎ লগারিদমে লগারিদম সাইন করার আগে আপনি সংখ্যাগুলি লিখতে পারেন। এটি প্রায়শই প্রয়োজন হয়।

টাস্ক। অভিব্যক্তিটির মান খুঁজুন: log7 496।

আসুন প্রথম সূত্রটি ব্যবহার করে আর্গুমেন্টের ডিগ্রি থেকে পরিত্রাণ পাই:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

টাস্ক। অভিব্যক্তির অর্থ খুঁজুন:

মনে রাখবেন যে হরটিতে একটি লগারিদম রয়েছে, যার ভিত্তি এবং যুক্তি সঠিক ক্ষমতা: 16 = 24; 49 = 72. আমাদের আছে:

আমি মনে করি শেষ উদাহরণ কিছু স্পষ্টীকরণ প্রয়োজন. লগারিদম কোথায় গেছে? একেবারে শেষ মুহূর্ত পর্যন্ত আমরা শুধুমাত্র হর নিয়ে কাজ করি।

লগারিদম সূত্র। লগারিদম উদাহরণ সমাধান.

আমরা শক্তির আকারে সেখানে দাঁড়িয়ে লগারিদমের ভিত্তি এবং যুক্তি উপস্থাপন করেছি এবং সূচকগুলি বের করেছি - আমরা একটি "তিন-তলা" ভগ্নাংশ পেয়েছি।

এখন মূল ভগ্নাংশের দিকে নজর দেওয়া যাক। লব এবং হর একই সংখ্যা ধারণ করে: log2 7। যেহেতু log2 7 ≠ 0, আমরা ভগ্নাংশ কমাতে পারি - 2/4 হর-এ থাকবে। পাটিগণিতের নিয়ম অনুসারে, চারটি অংকে স্থানান্তর করা যেতে পারে, যা করা হয়েছিল। ফলাফল উত্তর ছিল: 2.

একটি নতুন ভিত্তি পরিবর্তন

লগারিদম যোগ এবং বিয়োগ করার নিয়ম সম্পর্কে বলতে গিয়ে, আমি বিশেষভাবে জোর দিয়েছিলাম যে তারা শুধুমাত্র একই বেসগুলির সাথে কাজ করে। কারণ ভিন্ন হলে কি হবে? যদি তারা একই সংখ্যার সঠিক ক্ষমতা না হয়?

একটি নতুন ফাউন্ডেশনে রূপান্তরের সূত্র উদ্ধারে আসে। আসুন একটি উপপাদ্য আকারে তাদের গঠন করা যাক:

লগারিদম logax দেওয়া যাক. তারপর c > 0 এবং c ≠ 1 যেকোন সংখ্যার জন্য, সমতা সত্য:

বিশেষ করে, যদি আমরা c = x সেট করি, আমরা পাই:

দ্বিতীয় সূত্র থেকে এটি অনুসরণ করে যে লগারিদমের ভিত্তি এবং যুক্তি অদলবদল করা যেতে পারে, তবে এই ক্ষেত্রে সম্পূর্ণ অভিব্যক্তিটি "টার্ন ওভার" হয়, যেমন লগারিদম হর প্রদর্শিত হয়.

এই সূত্রগুলি খুব কমই সাধারণ সংখ্যাসূচক অভিব্যক্তিতে পাওয়া যায়। লগারিদমিক সমীকরণ এবং অসমতা সমাধান করার সময়ই তারা কতটা সুবিধাজনক তা মূল্যায়ন করা সম্ভব।

যাইহোক, এমন কিছু সমস্যা রয়েছে যা একটি নতুন ভিত্তির দিকে যাওয়া ছাড়া একেবারেই সমাধান করা যায় না। আসুন এর মধ্যে কয়েকটি দেখি:

টাস্ক। রাশিটির মান খুঁজুন: log5 16 log2 25।

মনে রাখবেন যে উভয় লগারিদমের আর্গুমেন্টে সঠিক ক্ষমতা রয়েছে। আসুন সূচকগুলি বের করি: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

এখন দ্বিতীয় লগারিদমটিকে "বিপরীত" করা যাক:

যেহেতু উপাদানগুলিকে পুনর্বিন্যাস করার সময় পণ্যটি পরিবর্তিত হয় না, তাই আমরা শান্তভাবে চার এবং দুইকে গুণ করেছি এবং তারপর লগারিদমের সাথে কাজ করেছি।

টাস্ক। রাশিটির মান খুঁজুন: log9 100 lg 3।

প্রথম লগারিদমের ভিত্তি এবং যুক্তি হল সঠিক ক্ষমতা। আসুন এটি লিখুন এবং সূচকগুলি থেকে মুক্তি পান:

এখন একটি নতুন বেসে যাওয়ার মাধ্যমে দশমিক লগারিদম থেকে পরিত্রাণ করা যাক:

মৌলিক লগারিদমিক পরিচয়

প্রায়শই সমাধান প্রক্রিয়ায় একটি প্রদত্ত বেসের লগারিদম হিসাবে একটি সংখ্যা উপস্থাপন করা প্রয়োজন। এই ক্ষেত্রে, নিম্নলিখিত সূত্র আমাদের সাহায্য করবে:

প্রথম ক্ষেত্রে, n সংখ্যাটি যুক্তিতে সূচকে পরিণত হয়। n সংখ্যাটি একেবারে যেকোনও হতে পারে, কারণ এটি শুধুমাত্র একটি লগারিদম মান।

দ্বিতীয় সূত্রটি আসলে একটি প্যারাফ্রেজড সংজ্ঞা। একেই বলে:।

প্রকৃতপক্ষে, b সংখ্যাটিকে এমন একটি শক্তিতে উত্থাপন করা হলে কি হবে যে এই শক্তিতে b সংখ্যাটি একটি সংখ্যা দেয়? এটা ঠিক: ফলাফল একই সংখ্যা a. এই অনুচ্ছেদটি আবার মনোযোগ সহকারে পড়ুন - অনেকে এতে আটকে যায়।

একটি নতুন বেসে যাওয়ার সূত্রের মতো, মৌলিক লগারিদমিক পরিচয় কখনও কখনও একমাত্র সম্ভাব্য সমাধান।

টাস্ক। অভিব্যক্তির অর্থ খুঁজুন:

লক্ষ্য করুন যে log25 64 = log5 8 - সহজভাবে লগারিদমের বেস এবং আর্গুমেন্ট থেকে বর্গক্ষেত্রটি নিয়েছে। একই বেস দিয়ে শক্তি গুণ করার নিয়মগুলি বিবেচনায় নিয়ে আমরা পাই:

যদি কেউ না জানে, এটি ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার একটি বাস্তব কাজ ছিল :)

লগারিদমিক একক এবং লগারিদমিক শূন্য

উপসংহারে, আমি দুটি পরিচয় দেব যেগুলিকে খুব কমই বৈশিষ্ট্য বলা যেতে পারে - বরং, তারা লগারিদমের সংজ্ঞার ফলাফল। তারা ক্রমাগত সমস্যার মধ্যে উপস্থিত হয় এবং আশ্চর্যজনকভাবে, এমনকি "উন্নত" শিক্ষার্থীদের জন্যও সমস্যা তৈরি করে।

1. লগা = 1 হল। একবার এবং সব জন্য মনে রাখবেন: যে কোন বেস a এর লগারিদম নিজেই একের সমান।
2. লগা 1 = 0 হল। বেস a যেকোনো কিছু হতে পারে, কিন্তু যুক্তিতে যদি একটি থাকে, লগারিদম শূন্যের সমান! কারণ a0 = 1 হল সংজ্ঞার সরাসরি পরিণতি।

যে সব বৈশিষ্ট্য. অনুশীলনে তাদের নির্বাণ অনুশীলন করতে ভুলবেন না! পাঠের শুরুতে চিট শীটটি ডাউনলোড করুন, এটি প্রিন্ট আউট করুন এবং সমস্যার সমাধান করুন।

আরো দেখুন:

a বেস করার জন্য b-এর লগারিদম রাশিটিকে বোঝায়। লগারিদম গণনা করার অর্থ হল একটি শক্তি x () খুঁজে বের করা যেখানে সমতা সন্তুষ্ট

লগারিদমের মৌলিক বৈশিষ্ট্য

উপরের বৈশিষ্ট্যগুলি জানা প্রয়োজন, যেহেতু লগারিদম সম্পর্কিত প্রায় সমস্ত সমস্যা এবং উদাহরণগুলি তাদের ভিত্তিতে সমাধান করা হয়। বাকি বহিরাগত বৈশিষ্ট্যগুলি এই সূত্রগুলির সাথে গাণিতিক ম্যানিপুলেশনের মাধ্যমে প্রাপ্ত করা যেতে পারে

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

লগারিদম (3.4) এর যোগফল এবং পার্থক্যের সূত্র গণনা করার সময় আপনি প্রায়শই দেখতে পান। বাকিগুলি কিছুটা জটিল, তবে বেশ কয়েকটি কাজের ক্ষেত্রে তারা জটিল অভিব্যক্তিগুলিকে সরল করার জন্য এবং তাদের মানগুলি গণনা করার জন্য অপরিহার্য।

লগারিদমের সাধারণ ঘটনা

কিছু সাধারণ লগারিদম হল যেগুলির ভিত্তি এমনকি দশ, সূচকীয় বা দুটি।
বেস টেনের লগারিদমকে সাধারণত দশমিক লগারিদম বলা হয় এবং সহজভাবে lg(x) দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।

রেকর্ডিং থেকে এটা স্পষ্ট যে রেকর্ডিংয়ে মৌলিক বিষয়গুলো লেখা নেই। উদাহরণ স্বরূপ

একটি প্রাকৃতিক লগারিদম হল একটি লগারিদম যার ভিত্তি একটি সূচক (ln(x) দ্বারা চিহ্নিত)।

সূচক হল 2.718281828... সূচকটি মনে রাখার জন্য, আপনি নিয়মটি অধ্যয়ন করতে পারেন: সূচকটি 2.7 এর সমান এবং লিও নিকোলাভিচ টলস্টয়ের জন্মের বছরের দ্বিগুণ। এই নিয়মটি জানলে, আপনি সূচকের সঠিক মান এবং লিও টলস্টয়ের জন্ম তারিখ উভয়ই জানতে পারবেন।

এবং বেস দুই এর আরেকটি গুরুত্বপূর্ণ লগারিদম দ্বারা চিহ্নিত করা হয়

একটি ফাংশনের লগারিদমের ডেরিভেটিভ ভেরিয়েবল দ্বারা বিভক্ত একটি সমান

অখণ্ড বা অ্যান্টিডেরিভেটিভ লগারিদম সম্পর্ক দ্বারা নির্ধারিত হয়

প্রদত্ত উপাদানটি লগারিদম এবং লগারিদম সম্পর্কিত বিস্তৃত শ্রেণির সমস্যার সমাধান করার জন্য আপনার জন্য যথেষ্ট। উপাদানটি বুঝতে আপনাকে সাহায্য করার জন্য, আমি স্কুল পাঠ্যক্রম এবং বিশ্ববিদ্যালয় থেকে শুধুমাত্র কয়েকটি সাধারণ উদাহরণ দেব।

লগারিদমের উদাহরণ

লগারিদম এক্সপ্রেশন

উদাহরণ 1.
ক)। x=10ac^2 (a>0,c>0)।

বৈশিষ্ট্য 3.5 ব্যবহার করে আমরা গণনা করি

2.
লগারিদমের পার্থক্যের বৈশিষ্ট্য দ্বারা আমাদের আছে

3.
বৈশিষ্ট্য 3.5 ব্যবহার করে আমরা খুঁজে পাই

4. কোথায় .

একটি আপাতদৃষ্টিতে জটিল অভিব্যক্তিকে বেশ কয়েকটি নিয়ম ব্যবহার করে গঠনের জন্য সরলীকৃত করা হয়েছে

লগারিদমের মান খোঁজা

উদাহরণ 2. যদি x খুঁজুন

সমাধান। গণনার জন্য, আমরা শেষ মেয়াদ 5 এবং 13 বৈশিষ্ট্যের জন্য আবেদন করি

আমরা এটা রেকর্ড এবং শোক করা

যেহেতু ঘাঁটিগুলি সমান, আমরা অভিব্যক্তিগুলিকে সমান করি

লগারিদম। প্রথম ধাপ.

লগারিদমের মান দেওয়া যাক

লগ (x) গণনা করুন যদি

সমাধান: চলকের একটি লগারিদম নিই লগারিদমটিকে এর পদগুলির যোগফল দিয়ে লিখতে।

লগারিদম এবং তাদের বৈশিষ্ট্যগুলির সাথে আমাদের পরিচিতির এটি মাত্র শুরু। গণনার অনুশীলন করুন, আপনার ব্যবহারিক দক্ষতাকে সমৃদ্ধ করুন - লগারিদমিক সমীকরণগুলি সমাধান করার জন্য আপনার অর্জিত জ্ঞানের খুব শীঘ্রই প্রয়োজন হবে। এই জাতীয় সমীকরণগুলি সমাধানের প্রাথমিক পদ্ধতিগুলি অধ্যয়ন করার পরে, আমরা আপনার জ্ঞানকে আরও একটি সমান গুরুত্বপূর্ণ বিষয়ে প্রসারিত করব - লগারিদমিক অসমতা...

লগারিদমের মৌলিক বৈশিষ্ট্য

লগারিদম, যেকোনো সংখ্যার মতোই, যোগ, বিয়োগ এবং রূপান্তরিত হতে পারে। কিন্তু লগারিদমগুলো যেহেতু ঠিক সাধারণ সংখ্যা নয়, তাই এখানে নিয়ম আছে, যেগুলোকে বলা হয় প্রধান বৈশিষ্ট্য.

আপনাকে অবশ্যই এই নিয়মগুলি জানতে হবে - এগুলি ছাড়া, একটি গুরুতর লগারিদমিক সমস্যা সমাধান করা যাবে না। উপরন্তু, তাদের মধ্যে খুব কম আছে - আপনি একদিনে সবকিছু শিখতে পারেন। চল শুরু করা যাক.

লগারিদম যোগ এবং বিয়োগ

একই বেস সহ দুটি লগারিদম বিবেচনা করুন: logax এবং logay। তারপর তারা যোগ এবং বিয়োগ করা যেতে পারে, এবং:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y)।

সুতরাং, লগারিদমের যোগফল গুণফলের লগারিদমের সমান এবং পার্থক্যটি ভাগফলের লগারিদমের সমান। অনুগ্রহ করে মনে রাখবেন: এখানে মূল পয়েন্ট হল অভিন্ন ভিত্তি. কারণ ভিন্ন হলে এই নিয়মগুলো কাজ করে না!

এই সূত্রগুলি আপনাকে লগারিদমিক অভিব্যক্তি গণনা করতে সাহায্য করবে এমনকি যখন এর পৃথক অংশগুলি বিবেচনা করা হয় না (পাঠটি দেখুন "লগারিদম কী")। উদাহরণগুলি দেখুন এবং দেখুন:

টাস্ক। অভিব্যক্তিটির মান খুঁজুন: log6 4 + log6 9।

যেহেতু লগারিদমের একই ভিত্তি রয়েছে, তাই আমরা যোগফল সূত্রটি ব্যবহার করি:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2।

টাস্ক। রাশিটির মান খুঁজুন: log2 48 − log2 3।

ভিত্তিগুলি একই, আমরা পার্থক্য সূত্র ব্যবহার করি:
log2 48 − log2 3 = log2 (48:3) = log2 16 = 4।

টাস্ক। রাশিটির মান খুঁজুন: log3 135 − log3 5।

আবার ঘাঁটি একই, তাই আমাদের আছে:
log3 135 − log3 5 = log3 (135:5) = log3 27 = 3।

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, মূল অভিব্যক্তিগুলি "খারাপ" লগারিদম দিয়ে তৈরি, যা আলাদাভাবে গণনা করা হয় না। কিন্তু রূপান্তরের পরে, সম্পূর্ণ স্বাভাবিক সংখ্যা প্রাপ্ত হয়। এই সত্যের উপর ভিত্তি করে অনেক পরীক্ষা করা হয়। হ্যাঁ, ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষায় পরীক্ষার মতো অভিব্যক্তিগুলি সমস্ত গুরুত্ব সহকারে (কখনও কখনও কার্যত কোনও পরিবর্তন ছাড়াই) দেওয়া হয়।

লগারিদম থেকে সূচক বের করা হচ্ছে

এখন কাজটা একটু জটিল করা যাক। লগারিদমের ভিত্তি বা যুক্তি একটি শক্তি হলে কি হবে? তাহলে নিম্নোক্ত নিয়ম অনুসারে লগারিদমের চিহ্ন থেকে এই ডিগ্রির সূচককে বের করা যেতে পারে:

এটি দেখতে সহজ যে শেষ নিয়মটি প্রথম দুটি অনুসরণ করে। তবে যাইহোক এটি মনে রাখা ভাল - কিছু ক্ষেত্রে এটি গণনার পরিমাণ উল্লেখযোগ্যভাবে হ্রাস করবে।

অবশ্যই, লগারিদমের ODZ পরিলক্ষিত হলে এই সমস্ত নিয়মগুলি বোঝা যায়: a > 0, a ≠ 1, x > 0। এবং আরও একটি জিনিস: সমস্ত সূত্র শুধু বাম থেকে ডানে নয়, উল্টোটাও প্রয়োগ করতে শিখুন। , অর্থাৎ লগারিদমে লগারিদম সাইন করার আগে আপনি সংখ্যাগুলি লিখতে পারেন।

লগারিদম কিভাবে সমাধান করবেন

এটি প্রায়শই প্রয়োজন হয়।

টাস্ক। অভিব্যক্তিটির মান খুঁজুন: log7 496।

আসুন প্রথম সূত্রটি ব্যবহার করে আর্গুমেন্টের ডিগ্রি থেকে পরিত্রাণ পাই:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

টাস্ক। অভিব্যক্তির অর্থ খুঁজুন:

মনে রাখবেন যে হরটিতে একটি লগারিদম রয়েছে, যার ভিত্তি এবং যুক্তি সঠিক ক্ষমতা: 16 = 24; 49 = 72. আমাদের আছে:

আমি মনে করি শেষ উদাহরণ কিছু স্পষ্টীকরণ প্রয়োজন. লগারিদম কোথায় গেছে? একেবারে শেষ মুহূর্ত পর্যন্ত আমরা শুধুমাত্র হর নিয়ে কাজ করি। আমরা শক্তির আকারে সেখানে দাঁড়িয়ে লগারিদমের ভিত্তি এবং যুক্তি উপস্থাপন করেছি এবং সূচকগুলি বের করেছি - আমরা একটি "তিন-তলা" ভগ্নাংশ পেয়েছি।

এখন মূল ভগ্নাংশের দিকে নজর দেওয়া যাক। লব এবং হর একই সংখ্যা ধারণ করে: log2 7। যেহেতু log2 7 ≠ 0, আমরা ভগ্নাংশ কমাতে পারি - 2/4 হর-এ থাকবে। পাটিগণিতের নিয়ম অনুসারে, চারটি অংকে স্থানান্তর করা যেতে পারে, যা করা হয়েছিল। ফলাফল উত্তর ছিল: 2.

একটি নতুন ভিত্তি পরিবর্তন

লগারিদম যোগ এবং বিয়োগ করার নিয়ম সম্পর্কে বলতে গিয়ে, আমি বিশেষভাবে জোর দিয়েছিলাম যে তারা শুধুমাত্র একই বেসগুলির সাথে কাজ করে। কারণ ভিন্ন হলে কি হবে? যদি তারা একই সংখ্যার সঠিক ক্ষমতা না হয়?

একটি নতুন ফাউন্ডেশনে রূপান্তরের সূত্র উদ্ধারে আসে। আসুন একটি উপপাদ্য আকারে তাদের গঠন করা যাক:

লগারিদম logax দেওয়া যাক. তারপর c > 0 এবং c ≠ 1 যেকোন সংখ্যার জন্য, সমতা সত্য:

বিশেষ করে, যদি আমরা c = x সেট করি, আমরা পাই:

দ্বিতীয় সূত্র থেকে এটি অনুসরণ করে যে লগারিদমের ভিত্তি এবং যুক্তি অদলবদল করা যেতে পারে, তবে এই ক্ষেত্রে সম্পূর্ণ অভিব্যক্তিটি "টার্ন ওভার" হয়, যেমন লগারিদম হর প্রদর্শিত হয়.

এই সূত্রগুলি খুব কমই সাধারণ সংখ্যাসূচক অভিব্যক্তিতে পাওয়া যায়। লগারিদমিক সমীকরণ এবং অসমতা সমাধান করার সময়ই তারা কতটা সুবিধাজনক তা মূল্যায়ন করা সম্ভব।

যাইহোক, এমন কিছু সমস্যা রয়েছে যা একটি নতুন ভিত্তির দিকে যাওয়া ছাড়া একেবারেই সমাধান করা যায় না। আসুন এর মধ্যে কয়েকটি দেখি:

টাস্ক। রাশিটির মান খুঁজুন: log5 16 log2 25।

মনে রাখবেন যে উভয় লগারিদমের আর্গুমেন্টে সঠিক ক্ষমতা রয়েছে। আসুন সূচকগুলি বের করি: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

এখন দ্বিতীয় লগারিদমটিকে "বিপরীত" করা যাক:

যেহেতু উপাদানগুলিকে পুনর্বিন্যাস করার সময় পণ্যটি পরিবর্তিত হয় না, তাই আমরা শান্তভাবে চার এবং দুইকে গুণ করেছি এবং তারপর লগারিদমের সাথে কাজ করেছি।

টাস্ক। রাশিটির মান খুঁজুন: log9 100 lg 3।

প্রথম লগারিদমের ভিত্তি এবং যুক্তি হল সঠিক ক্ষমতা। আসুন এটি লিখুন এবং সূচকগুলি থেকে মুক্তি পান:

এখন একটি নতুন বেসে যাওয়ার মাধ্যমে দশমিক লগারিদম থেকে পরিত্রাণ করা যাক:

মৌলিক লগারিদমিক পরিচয়

প্রায়শই সমাধান প্রক্রিয়ায় একটি প্রদত্ত বেসের লগারিদম হিসাবে একটি সংখ্যা উপস্থাপন করা প্রয়োজন। এই ক্ষেত্রে, নিম্নলিখিত সূত্র আমাদের সাহায্য করবে:

প্রথম ক্ষেত্রে, n সংখ্যাটি যুক্তিতে সূচকে পরিণত হয়। n সংখ্যাটি একেবারে যেকোনও হতে পারে, কারণ এটি শুধুমাত্র একটি লগারিদম মান।

দ্বিতীয় সূত্রটি আসলে একটি প্যারাফ্রেজড সংজ্ঞা। একেই বলে:।

প্রকৃতপক্ষে, b সংখ্যাটিকে এমন একটি শক্তিতে উত্থাপন করা হলে কি হবে যে এই শক্তিতে b সংখ্যাটি একটি সংখ্যা দেয়? এটা ঠিক: ফলাফল একই সংখ্যা a. এই অনুচ্ছেদটি আবার মনোযোগ সহকারে পড়ুন - অনেকে এতে আটকে যায়।

একটি নতুন বেসে যাওয়ার সূত্রের মতো, মৌলিক লগারিদমিক পরিচয় কখনও কখনও একমাত্র সম্ভাব্য সমাধান।

টাস্ক। অভিব্যক্তির অর্থ খুঁজুন:

লক্ষ্য করুন যে log25 64 = log5 8 - সহজভাবে লগারিদমের বেস এবং আর্গুমেন্ট থেকে বর্গক্ষেত্রটি নিয়েছে। একই বেস দিয়ে শক্তি গুণ করার নিয়মগুলি বিবেচনায় নিয়ে আমরা পাই:

যদি কেউ না জানে, এটি ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার একটি বাস্তব কাজ ছিল :)

লগারিদমিক একক এবং লগারিদমিক শূন্য

উপসংহারে, আমি দুটি পরিচয় দেব যেগুলিকে খুব কমই বৈশিষ্ট্য বলা যেতে পারে - বরং, তারা লগারিদমের সংজ্ঞার ফলাফল। তারা ক্রমাগত সমস্যার মধ্যে উপস্থিত হয় এবং আশ্চর্যজনকভাবে, এমনকি "উন্নত" শিক্ষার্থীদের জন্যও সমস্যা তৈরি করে।

1. লগা = 1 হল। একবার এবং সব জন্য মনে রাখবেন: যে কোন বেস a এর লগারিদম নিজেই একের সমান।
2. লগা 1 = 0 হল। বেস a যেকোনো কিছু হতে পারে, কিন্তু যুক্তিতে যদি একটি থাকে, লগারিদম শূন্যের সমান! কারণ a0 = 1 হল সংজ্ঞার সরাসরি পরিণতি।

যে সব বৈশিষ্ট্য. অনুশীলনে তাদের নির্বাণ অনুশীলন করতে ভুলবেন না! পাঠের শুরুতে চিট শীটটি ডাউনলোড করুন, এটি প্রিন্ট আউট করুন এবং সমস্যার সমাধান করুন।

সমাজের বিকাশ এবং উত্পাদন আরও জটিল হওয়ার সাথে সাথে গণিতেরও বিকাশ ঘটে। সরল থেকে জটিল পর্যন্ত আন্দোলন। যোগ এবং বিয়োগের পদ্ধতি ব্যবহার করে সাধারণ হিসাব থেকে, তাদের বারবার পুনরাবৃত্তির সাথে, আমরা গুণ এবং ভাগের ধারণায় এসেছি। গুণের বারবার ক্রিয়াকলাপ হ্রাস করা সূচকের ধারণা হয়ে উঠেছে। ভিত্তির উপর সংখ্যার নির্ভরতা এবং সূচকের সংখ্যার প্রথম সারণীগুলি 8 ম শতাব্দীতে ভারতীয় গণিতবিদ ভারসেনা দ্বারা সংকলিত হয়েছিল। এগুলি থেকে আপনি লগারিদমগুলির সংঘটনের সময় গণনা করতে পারেন।

ঐতিহাসিক স্কেচ

16 শতকে ইউরোপের পুনরুজ্জীবনও যান্ত্রিকতার বিকাশকে উদ্দীপিত করেছিল। টি প্রচুর পরিমাণে গণনার প্রয়োজনবহু-সংখ্যার সংখ্যার গুণ ও ভাগের সাথে সম্পর্কিত। প্রাচীন সারণীগুলো ছিল দারুণ সেবার। তারা জটিল ক্রিয়াকলাপগুলিকে সহজতর দিয়ে প্রতিস্থাপন করা সম্ভব করেছে - যোগ এবং বিয়োগ। 1544 সালে প্রকাশিত গণিতবিদ মাইকেল স্টিফেলের কাজটি একটি বড় পদক্ষেপ ছিল, যেখানে তিনি অনেক গণিতবিদদের ধারণা উপলব্ধি করেছিলেন। এটি কেবলমাত্র মৌলিক সংখ্যার আকারের শক্তির জন্যই নয়, যথেচ্ছ যুক্তিযুক্তগুলির জন্যও টেবিলগুলি ব্যবহার করা সম্ভব করেছিল।

1614 সালে, স্কটসম্যান জন নেপিয়ার, এই ধারণাগুলি বিকাশ করে, প্রথম "একটি সংখ্যার লগারিদম" নতুন শব্দটি চালু করেছিলেন। সাইন এবং কোসাইনের লগারিদম, সেইসাথে স্পর্শকগুলির গণনার জন্য নতুন জটিল টেবিলগুলি সংকলিত হয়েছিল। এটি জ্যোতির্বিজ্ঞানীদের কাজকে ব্যাপকভাবে হ্রাস করে।

নতুন টেবিলগুলি উপস্থিত হতে শুরু করে, যা সফলভাবে বিজ্ঞানীরা তিন শতাব্দী ধরে ব্যবহার করেছিলেন। বীজগণিতের নতুন অপারেশনটি তার সমাপ্ত রূপ অর্জন করার আগে অনেক সময় কেটে গেছে। লগারিদমের সংজ্ঞা দেওয়া হয়েছিল এবং এর বৈশিষ্ট্যগুলি অধ্যয়ন করা হয়েছিল।

শুধুমাত্র 20 শতকে, ক্যালকুলেটর এবং কম্পিউটারের আবির্ভাবের সাথে, মানবতা সেই প্রাচীন টেবিলগুলিকে পরিত্যাগ করেছিল যা 13 শতক জুড়ে সফলভাবে কাজ করেছিল।

আজকে আমরা b-এর লগারিদমকে বলি a সংখ্যা x এর ভিত্তি যা b তৈরি করতে a এর শক্তি। এটি একটি সূত্র হিসাবে লেখা হয়: x = log a(b)।

উদাহরণস্বরূপ, লগ 3(9) 2 এর সমান হবে। আপনি যদি সংজ্ঞাটি অনুসরণ করেন তবে এটি স্পষ্ট। যদি আমরা 3 কে 2 এর শক্তিতে বাড়াই, আমরা 9 ​​পাব।

সুতরাং, প্রণীত সংজ্ঞা শুধুমাত্র একটি সীমাবদ্ধতা সেট করে: সংখ্যা a এবং b অবশ্যই বাস্তব হতে হবে।

লগারিদমের প্রকারভেদ

ক্লাসিক সংজ্ঞাটিকে প্রকৃত লগারিদম বলা হয় এবং এটি আসলে একটি x = b সমীকরণের সমাধান। বিকল্প a = 1 হল সীমারেখা এবং আগ্রহের নয়। মনোযোগ: 1 যেকোন শক্তির সমান 1।

লগারিদমের প্রকৃত মানশুধুমাত্র তখনই সংজ্ঞায়িত করা হয় যখন বেস এবং আর্গুমেন্ট 0 এর বেশি হয় এবং বেস অবশ্যই 1 এর সমান হবে না।

গণিতের ক্ষেত্রে বিশেষ স্থানলগারিদম খেলুন, যেগুলি তাদের বেসের আকারের উপর নির্ভর করে নাম দেওয়া হবে:

নিয়ম এবং বিধিনিষেধ

লগারিদমের মৌলিক বৈশিষ্ট্য হল নিয়ম: একটি পণ্যের লগারিদম লগারিদমিক যোগফলের সমান। log abp = log a(b) + log a(p)।

এই স্টেটমেন্টের বৈকল্পিক হিসেবে থাকবে: log c(b/p) = log c(b) - log c(p), ভাগফল ফাংশন ফাংশনের পার্থক্যের সমান।

পূর্ববর্তী দুটি নিয়ম থেকে এটি দেখতে সহজ যে: log a(b p) = p * log a(b)।

অন্যান্য বৈশিষ্ট্য অন্তর্ভুক্ত:

মন্তব্য করুন। একটি সাধারণ ভুল করার দরকার নেই - একটি যোগফলের লগারিদম লগারিদমের যোগফলের সমান নয়।

বহু শতাব্দী ধরে, লগারিদম খুঁজে বের করা একটি বরং সময়সাপেক্ষ কাজ ছিল। গণিতবিদগণ বহুপদী সম্প্রসারণের লগারিদমিক তত্ত্বের সুপরিচিত সূত্র ব্যবহার করেছেন:

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), যেখানে n হল 1-এর চেয়ে বড় একটি স্বাভাবিক সংখ্যা, যা গণনার নির্ভুলতা নির্ধারণ করে।

অন্যান্য বেস সহ লগারিদমগুলি একটি বেস থেকে অন্য বেসে রূপান্তর এবং পণ্যের লগারিদমের বৈশিষ্ট্য সম্পর্কে উপপাদ্য ব্যবহার করে গণনা করা হয়েছিল।

যেহেতু এই পদ্ধতিটি খুব শ্রম-নিবিড় এবং ব্যবহারিক সমস্যা সমাধান করার সময়বাস্তবায়ন করা কঠিন, আমরা লগারিদমের প্রাক-সংকলিত সারণী ব্যবহার করেছি, যা উল্লেখযোগ্যভাবে সমস্ত কাজের গতি বাড়িয়েছে।

কিছু ক্ষেত্রে, লগারিদমের বিশেষভাবে সংকলিত গ্রাফ ব্যবহার করা হয়েছিল, যা কম নির্ভুলতা দেয়, কিন্তু উল্লেখযোগ্যভাবে পছন্দসই মান অনুসন্ধানের গতি বাড়িয়ে দেয়। ফাংশনের বক্ররেখা y = log a(x), বেশ কয়েকটি বিন্দুতে নির্মিত, আপনাকে অন্য যেকোনো বিন্দুতে ফাংশনের মান খুঁজে পেতে একটি নিয়মিত রুলার ব্যবহার করতে দেয়। দীর্ঘকাল ধরে, প্রকৌশলীরা এই উদ্দেশ্যে তথাকথিত গ্রাফ পেপার ব্যবহার করেছেন।

17 শতকে, প্রথম সহায়ক অ্যানালগ কম্পিউটিং অবস্থার আবির্ভাব ঘটে, যা 19 শতকের মধ্যে একটি সম্পূর্ণ রূপ লাভ করে। সবচেয়ে সফল ডিভাইসটিকে স্লাইড নিয়ম বলা হয়। ডিভাইসের সরলতা সত্ত্বেও, এর উপস্থিতি উল্লেখযোগ্যভাবে সমস্ত ইঞ্জিনিয়ারিং গণনার প্রক্রিয়াকে ত্বরান্বিত করেছে এবং এটিকে অতিরিক্ত মূল্যায়ন করা কঠিন। বর্তমানে, খুব কম লোকই এই ডিভাইসটির সাথে পরিচিত।

ক্যালকুলেটর এবং কম্পিউটারের আবির্ভাব অন্য কোনো ডিভাইসের ব্যবহারকে অর্থহীন করে তুলেছে।

সমীকরণ এবং অসমতা

লগারিদম ব্যবহার করে বিভিন্ন সমীকরণ এবং অসমতা সমাধান করতে, নিম্নলিখিত সূত্রগুলি ব্যবহার করা হয়:

• এক বেস থেকে অন্য বেসে যাওয়া: log a(b) = log c(b) / log c(a);
• পূর্ববর্তী বিকল্পের ফলস্বরূপ: লগ a(b) = 1 / লগ b(a)।

অসমতা সমাধানের জন্য এটি জানা দরকারী:

• লগারিদমের মান তখনই ধনাত্মক হবে যখন ভিত্তি এবং যুক্তি উভয়ই একের চেয়ে বড় বা কম হয়; যদি অন্তত একটি শর্ত লঙ্ঘন করা হয়, লগারিদম মান ঋণাত্মক হবে।
• যদি লগারিদম ফাংশন একটি অসমতার ডান এবং বাম দিকে প্রয়োগ করা হয়, এবং লগারিদমের ভিত্তি একের বেশি হয়, তাহলে অসমতার চিহ্ন সংরক্ষণ করা হয়; অন্যথায় এটি পরিবর্তিত হয়।

নমুনা সমস্যা

লগারিদম এবং তাদের বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করার জন্য বিভিন্ন বিকল্প বিবেচনা করা যাক। সমীকরণ সমাধানের উদাহরণ:

একটি শক্তিতে লগারিদম স্থাপনের বিকল্পটি বিবেচনা করুন:

• সমস্যা 3. গণনা করুন 25^লগ 5(3)। সমাধান: সমস্যার শর্তে, এন্ট্রিটি নিম্নলিখিত (5^2)^log5(3) বা 5^(2 * লগ 5(3)) এর মতো। একে অন্যভাবে লিখি: 5^log 5(3*2), অথবা ফাংশন আর্গুমেন্ট হিসেবে একটি সংখ্যার বর্গকে ফাংশনের বর্গ হিসেবে লেখা যেতে পারে (5^log 5(3))^2। লগারিদমের বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে, এই রাশিটি 3^2 এর সমান। উত্তর: গণনার ফলস্বরূপ আমরা 9 ​​পাই।

বাস্তবিক ব্যবহার

একটি সম্পূর্ণরূপে গাণিতিক হাতিয়ার হওয়ায়, এটি বাস্তব জীবন থেকে অনেক দূরে বলে মনে হয় যে লগারিদম হঠাৎ করে বাস্তব জগতে বস্তুর বর্ণনার জন্য অত্যন্ত গুরুত্ব অর্জন করেছে। যেখানে এটি ব্যবহার করা হয় না এমন একটি বিজ্ঞান খুঁজে পাওয়া কঠিন। এটি কেবল প্রাকৃতিক নয়, মানবিক জ্ঞানের ক্ষেত্রেও পুরোপুরি প্রযোজ্য।

লগারিদমিক নির্ভরতা

এখানে সংখ্যাসূচক নির্ভরতার কিছু উদাহরণ রয়েছে:

মেকানিক্স এবং পদার্থবিদ্যা

ঐতিহাসিকভাবে, মেকানিক্স এবং পদার্থবিদ্যা সর্বদা গাণিতিক গবেষণা পদ্ধতি ব্যবহার করে বিকশিত হয়েছে এবং একই সাথে লগারিদম সহ গণিতের বিকাশের জন্য একটি উদ্দীপক হিসাবে কাজ করেছে। পদার্থবিজ্ঞানের অধিকাংশ সূত্রের তত্ত্ব গণিতের ভাষায় লেখা। লগারিদম ব্যবহার করে ভৌত আইন বর্ণনা করার মাত্র দুটি উদাহরণ দেওয়া যাক।

একটি রকেটের গতির মতো জটিল পরিমাণ গণনা করার সমস্যাটি সিওলকোভস্কি সূত্র ব্যবহার করে সমাধান করা যেতে পারে, যা মহাকাশ অনুসন্ধানের তত্ত্বের ভিত্তি স্থাপন করেছিল:

V = I * ln (M1/M2), যেখানে

• V হল বিমানের চূড়ান্ত গতি।
• আমি - ইঞ্জিনের নির্দিষ্ট আবেগ।
• এম 1 - রকেটের প্রাথমিক ভর।
• M 2 - চূড়ান্ত ভর।

আরেকটি গুরুত্বপূর্ণ উদাহরণ- এটি অন্য একজন মহান বিজ্ঞানী ম্যাক্স প্ল্যাঙ্কের সূত্রে ব্যবহৃত হয়, যা তাপগতিবিদ্যায় ভারসাম্যের অবস্থা মূল্যায়ন করে।

S = k * ln (Ω), যেখানে

• এস - থার্মোডাইনামিক সম্পত্তি।
• k – বোল্টজম্যান ধ্রুবক।
• Ω হল বিভিন্ন রাজ্যের পরিসংখ্যানগত ওজন।

রসায়ন

লগারিদমের অনুপাত ধারণকারী রসায়নে সূত্রের ব্যবহার কম স্পষ্ট। শুধু দুটি উদাহরণ দেওয়া যাক:

• Nernst সমীকরণ, পদার্থের কার্যকলাপ এবং ভারসাম্য ধ্রুবকের সাথে সম্পর্কযুক্ত মাধ্যমের রেডক্স সম্ভাবনার অবস্থা।
• অটোলাইসিস সূচক এবং দ্রবণের অম্লতার মতো ধ্রুবকগুলির গণনাও আমাদের ফাংশন ছাড়া করা যায় না।

মনোবিজ্ঞান এবং জীববিজ্ঞান

এবং এটির সাথে মনোবিজ্ঞানের কী সম্পর্ক তা মোটেও পরিষ্কার নয়। এটা দেখা যাচ্ছে যে সংবেদনের শক্তি এই ফাংশন দ্বারা ভালভাবে বর্ণনা করা হয়েছে উদ্দীপকের তীব্রতা মান থেকে নিম্ন তীব্রতার মানের বিপরীত অনুপাত হিসাবে।

উপরের উদাহরণগুলির পরে, এটি আর অবাক হওয়ার কিছু নেই যে লগারিদমের বিষয়টি জীববিজ্ঞানে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়। লগারিদমিক সর্পিলগুলির সাথে সম্পর্কিত জৈবিক ফর্মগুলি সম্পর্কে সম্পূর্ণ ভলিউম লেখা যেতে পারে।

অন্য এলাকা সমূহ

এটা মনে হয় যে এই ফাংশনের সাথে সংযোগ ছাড়া বিশ্বের অস্তিত্ব অসম্ভব, এবং এটি সমস্ত আইন শাসন করে। বিশেষ করে যখন প্রকৃতির নিয়ম জ্যামিতিক অগ্রগতির সাথে জড়িত। এটি MatProfi ওয়েবসাইটের দিকে ফিরে যাওয়া মূল্যবান এবং নিম্নলিখিত ক্রিয়াকলাপের ক্ষেত্রে এরকম অনেক উদাহরণ রয়েছে:

তালিকা অন্তহীন হতে পারে. এই ফাংশনের মৌলিক নীতিগুলি আয়ত্ত করার পরে, আপনি অসীম জ্ঞানের জগতে ডুবে যেতে পারেন।

লগারিদম কি?

মনোযোগ!
অতিরিক্ত আছে
বিশেষ ধারা 555 এর উপকরণ।
যারা খুব "খুব নয়..." তাদের জন্য
এবং যারা "খুব বেশি ..." তাদের জন্য)

লগারিদম কি? লগারিদম কিভাবে সমাধান করবেন? এই প্রশ্নগুলি অনেক স্নাতককে বিভ্রান্ত করে। ঐতিহ্যগতভাবে, লগারিদমের বিষয়টিকে জটিল, বোধগম্য এবং ভীতিকর বলে মনে করা হয়। বিশেষ করে লগারিদমের সমীকরণ।

এটা একেবারে সত্য নয়। একেবারেই! বিশ্বাস করবেন না? ফাইন। এখন, মাত্র 10-20 মিনিটের মধ্যে আপনি:

1. আপনি বুঝতে পারবেন লগারিদম কি.

2. সূচকীয় সমীকরণের পুরো ক্লাস সমাধান করতে শিখুন। এমনকি যদি আপনি তাদের সম্পর্কে কিছু না শুনে থাকেন।

3. সহজ লগারিদম গণনা করতে শিখুন।

তদুপরি, এর জন্য আপনাকে কেবল গুণের সারণী এবং কীভাবে একটি সংখ্যাকে শক্তিতে বাড়াতে হবে তা জানতে হবে...

আমার মনে হয় আপনার সন্দেহ আছে... আচ্ছা, ঠিক আছে, সময় চিহ্নিত করুন! যাওয়া!

প্রথমে, আপনার মাথায় এই সমীকরণটি সমাধান করুন:

আপনি যদি এই সাইটটি পছন্দ করেন ...

যাইহোক, আমার কাছে আপনার জন্য আরও কয়েকটি আকর্ষণীয় সাইট রয়েছে।)

আপনি উদাহরণ সমাধানের অনুশীলন করতে পারেন এবং আপনার স্তর খুঁজে বের করতে পারেন। তাত্ক্ষণিক যাচাইকরণের সাথে পরীক্ষা করা হচ্ছে। আসুন শিখি - আগ্রহ সহ!)

আপনি ফাংশন এবং ডেরিভেটিভের সাথে পরিচিত হতে পারেন।

সম্পর্কিত

প্রদত্ত অন্য দুটি থেকে তিনটি সংখ্যার যেকোনো একটি খুঁজে বের করার কাজটি নির্ধারণ করা যেতে পারে। যদি a এবং তারপর N দেওয়া হয়, তারা সূচক দ্বারা পাওয়া যায়। যদি N এবং তারপর a দেওয়া হয় ডিগ্রী x এর মূল নিয়ে (অথবা এটিকে শক্তিতে বাড়িয়ে)। এখন বিবেচনা করুন যখন, a এবং N দেওয়া হলে, আমাদের x খুঁজে বের করতে হবে।

N সংখ্যাটিকে ধনাত্মক হতে দিন: সংখ্যাটি ধনাত্মক এবং একের সমান নয়: .

সংজ্ঞা। সংখ্যা N-এর লগারিদম বেস a-এর সূচক হল যে সূচকটি N সংখ্যা পেতে হলে aকে উঠাতে হবে; লগারিদম দ্বারা চিহ্নিত করা হয়

এইভাবে, সমতায় (26.1) সূচকটিকে N-এর লগারিদম হিসাবে a বেস হিসাবে পাওয়া যায়। পোস্ট

একই অর্থ আছে সমতা (26.1) কখনও কখনও লগারিদম তত্ত্বের প্রধান পরিচয় বলা হয়; বাস্তবে এটি লগারিদমের ধারণার সংজ্ঞা প্রকাশ করে। এই সংজ্ঞা অনুসারে, লগারিদম a-এর ভিত্তি সর্বদা ধনাত্মক এবং ঐক্য থেকে আলাদা; লগারিদমিক সংখ্যা N ধনাত্মক। ঋণাত্মক সংখ্যা এবং শূন্যের কোনো লগারিদম নেই। এটি প্রমাণ করা যেতে পারে যে প্রদত্ত বেস সহ যে কোনও সংখ্যার একটি সুনির্দিষ্ট লগারিদম রয়েছে। তাই সমতা আবশ্যক। উল্লেখ্য যে শর্তটি এখানে অপরিহার্য; অন্যথায়, উপসংহারটি ন্যায়সঙ্গত হবে না, যেহেতু সমতা x এবং y-এর যেকোনো মানের জন্য সত্য।

উদাহরণ 1. খুঁজুন

সমাধান। একটি সংখ্যা প্রাপ্ত করার জন্য, আপনাকে অবশ্যই বেস 2 কে শক্তিতে বাড়াতে হবে।

নিম্নলিখিত ফর্মে এই ধরনের উদাহরণগুলি সমাধান করার সময় আপনি নোট তৈরি করতে পারেন:

উদাহরণ 2. খুঁজুন।

সমাধান। আমাদের আছে

উদাহরণ 1 এবং 2-এ, আমরা সহজেই লগারিদম সংখ্যাটিকে মূলদ সূচক সহ বেসের শক্তি হিসাবে উপস্থাপন করে কাঙ্ক্ষিত লগারিদম খুঁজে পেয়েছি। সাধারণ ক্ষেত্রে, উদাহরণস্বরূপ, ইত্যাদির জন্য, এটি করা যাবে না, যেহেতু লগারিদমের একটি অযৌক্তিক মান রয়েছে। আমাদের এই বিবৃতি সম্পর্কিত একটি বিষয় মনোযোগ দেওয়া যাক. অনুচ্ছেদ 12-এ, আমরা একটি প্রদত্ত ধনাত্মক সংখ্যার কোনো বাস্তব শক্তি নির্ধারণের সম্ভাবনার ধারণা দিয়েছি। লগারিদমগুলির প্রবর্তনের জন্য এটি প্রয়োজনীয় ছিল, যা সাধারণত বলতে গেলে, অমূলদ সংখ্যা হতে পারে।

আসুন লগারিদমের কিছু বৈশিষ্ট্য দেখি।

বৈশিষ্ট্য 1. যদি সংখ্যা এবং ভিত্তি সমান হয়, তাহলে লগারিদম একের সমান, এবং বিপরীতভাবে, লগারিদম যদি একের সমান হয়, তাহলে সংখ্যা এবং ভিত্তি সমান।

প্রমাণ। একটি লগারিদম সংজ্ঞা দ্বারা আমরা এবং কোথা থেকে আছে

বিপরীতভাবে, তারপর সংজ্ঞা দ্বারা যাক

বৈশিষ্ট্য 2. যেকোন ভিত্তির সাথে একের লগারিদম শূন্যের সমান।

প্রমাণ। লগারিদমের সংজ্ঞা অনুসারে (যে কোনো ধনাত্মক ভিত্তির শূন্য শক্তি একের সমান, দেখুন (10.1))। এখান থেকে

Q.E.D.

কথোপকথন বিবৃতিটিও সত্য: যদি , তাহলে N = 1। প্রকৃতপক্ষে, আমাদের আছে।

লগারিদমের পরবর্তী বৈশিষ্ট্য প্রণয়ন করার আগে, আসুন আমরা বলতে রাজি যে দুটি সংখ্যা a এবং b তৃতীয় সংখ্যা c এর একই পাশে অবস্থিত যদি তারা উভয়ই c এর চেয়ে বড় বা c এর চেয়ে কম হয়। এই সংখ্যাগুলির একটি যদি c-এর চেয়ে বড় হয় এবং অন্যটি c-এর চেয়ে কম হয়, তাহলে আমরা বলব যে তারা c-এর বিপরীত দিকে রয়েছে।

বৈশিষ্ট্য 3. যদি সংখ্যা এবং ভিত্তি একটির একই পাশে থাকে, তাহলে লগারিদমটি ধনাত্মক হয়; যদি সংখ্যা এবং ভিত্তি একটির বিপরীত দিকে থাকে, তাহলে লগারিদম নেতিবাচক।

সম্পত্তি 3 এর প্রমাণটি এই সত্যের উপর ভিত্তি করে যে a এর শক্তি একের চেয়ে বেশি হয় যদি ভিত্তিটি একের বেশি হয় এবং সূচকটি ধনাত্মক হয় বা ভিত্তিটি একের চেয়ে কম হয় এবং সূচকটি ঋণাত্মক হয়। বেস একের বেশি হলে এবং সূচকটি ঋণাত্মক বা ভিত্তি একের কম হলে এবং সূচকটি ধনাত্মক হলে একটি শক্তি একের চেয়ে কম হয়।

বিবেচনা করার জন্য চারটি ক্ষেত্রে রয়েছে:

আমরা তাদের প্রথম বিশ্লেষণের মধ্যে নিজেদেরকে সীমাবদ্ধ রাখব; পাঠক নিজেরাই বিবেচনা করবেন।

তাহলে সমতায় ধরা যাক সূচকটি ঋণাত্মক বা শূন্যের সমানও হতে পারে না, তাই, এটি ধনাত্মক, অর্থাত্‍ প্রমাণ করা প্রয়োজন।

উদাহরণ 3. নীচের লগারিদমগুলির মধ্যে কোনটি ধনাত্মক এবং কোনটি ঋণাত্মক তা সন্ধান করুন:

সমাধান, ক) যেহেতু 15 নম্বর এবং ভিত্তি 12 একটির একই পাশে অবস্থিত;

খ) যেহেতু 1000 এবং 2 ইউনিটের একপাশে অবস্থিত; এই ক্ষেত্রে, এটা গুরুত্বপূর্ণ নয় যে বেসটি লগারিদমিক সংখ্যার চেয়ে বড়;

গ) যেহেতু 3.1 এবং 0.8 ঐক্যের বিপরীত দিকে রয়েছে;

ছ); কেন?

ঘ) ; কেন?

নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্য 4-6 কে প্রায়ই লগারিদমেশনের নিয়ম বলা হয়: তারা কিছু সংখ্যার লগারিদম জেনে তাদের প্রতিটির গুণফল, ভাগফল এবং ডিগ্রির লগারিদম খুঁজে পেতে অনুমতি দেয়।

প্রপার্টি 4 (পণ্য লগারিদম নিয়ম)। একটি প্রদত্ত বেসের বেশ কয়েকটি ধনাত্মক সংখ্যার গুণফলের লগারিদম একই বেসে এই সংখ্যাগুলির লগারিদমের যোগফলের সমান।

প্রমাণ। প্রদত্ত সংখ্যাগুলি ইতিবাচক হতে দিন।

তাদের পণ্যের লগারিদমের জন্য, আমরা সমতা (26.1) লিখি যা লগারিদমকে সংজ্ঞায়িত করে:

এখান থেকে আমরা খুঁজে পাব

প্রথম এবং শেষ রাশির সূচকগুলির তুলনা করে, আমরা প্রয়োজনীয় সমতা পাই:

উল্লেখ্য যে শর্ত অপরিহার্য; দুটি ঋণাত্মক সংখ্যার গুণফলের লগারিদম বোঝা যায়, কিন্তু এই ক্ষেত্রে আমরা পাই

সাধারণভাবে, যদি বেশ কয়েকটি ফ্যাক্টরের গুণফল ধনাত্মক হয়, তাহলে এর লগারিদম এই ফ্যাক্টরগুলির পরম মানের লগারিদমের যোগফলের সমান।

সম্পত্তি 5 (ভাগফলের লগারিদম নেওয়ার নিয়ম)। ধনাত্মক সংখ্যার ভাগফলের লগারিদম লভ্যাংশ এবং ভাজকের লগারিদমের মধ্যে পার্থক্যের সমান, একই বেসে নেওয়া হয়। প্রমাণ। আমরা ধারাবাহিকভাবে খুঁজে

Q.E.D.

সম্পত্তি 6 (পাওয়ার লগারিদম নিয়ম)। যেকোনো ধনাত্মক সংখ্যার ঘাতের লগারিদম সূচক দ্বারা গুণিত সেই সংখ্যাটির লগারিদমের সমান।

প্রমাণ। আসুন আমরা আবার সংখ্যার জন্য মূল পরিচয় (26.1) লিখি:

Q.E.D.

পরিণতি। একটি ধনাত্মক সংখ্যার মূলের লগারিদম মূলের সূচক দ্বারা বিভক্ত র্যাডিকেলের লগারিদমের সমান:

সম্পত্তি 6 কিভাবে এবং ব্যবহার করে কল্পনা করে এই ফলাফলের বৈধতা প্রমাণ করা যেতে পারে।

উদাহরণ 4. লগারিদমকে বেস a-এ নিন:

ক) (ধারণা করা হয় যে সমস্ত মান b, c, d, e ধনাত্মক);

খ) (ধারণা করা হয় যে)।

সমাধান, ক) এই অভিব্যক্তিতে ভগ্নাংশের শক্তিতে যাওয়া সুবিধাজনক:

সমতার উপর ভিত্তি করে (26.5)-(26.7), আমরা এখন লিখতে পারি:

আমরা লক্ষ্য করি যে সংখ্যার লগারিদমগুলিতে সংখ্যার তুলনায় সহজ ক্রিয়াকলাপগুলি সঞ্চালিত হয়: সংখ্যাগুলিকে গুণ করার সময়, তাদের লগারিদমগুলি যোগ করা হয়, ভাগ করার সময়, বিয়োগ করা হয় ইত্যাদি।

এই কারণেই লগারিদমগুলি কম্পিউটিং অনুশীলনে ব্যবহৃত হয় (অনুচ্ছেদ 29 দেখুন)।

লগারিদমের বিপরীত ক্রিয়াকে পটেনশিয়ান বলা হয়, যথা: পটেনশিয়ান এমন একটি ক্রিয়া যার দ্বারা সংখ্যাটি একটি সংখ্যার প্রদত্ত লগারিদম থেকে পাওয়া যায়। মূলত, সম্ভাব্যতা কোনো বিশেষ ক্রিয়া নয়: এটি একটি বেসকে একটি শক্তিতে উন্নীত করার জন্য নেমে আসে (একটি সংখ্যার লগারিদমের সমান)। "সম্ভাব্যতা" শব্দটিকে "সম্পত্তি" শব্দটির সমার্থক হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে।

সম্ভাব্যতা করার সময়, আপনাকে লগারিদমেশনের নিয়মগুলির বিপরীতে নিয়মগুলি ব্যবহার করতে হবে: লগারিদমের যোগফলকে গুণফলের লগারিদমের সাথে প্রতিস্থাপন করুন, ভাগফলের লগারিদমের সাথে লগারিদমের পার্থক্য ইত্যাদি। বিশেষ করে, যদি সামনে একটি ফ্যাক্টর থাকে লগারিদমের চিহ্নের, তারপর সম্ভাবনার সময় এটি লগারিদমের চিহ্নের অধীনে সূচক ডিগ্রীতে স্থানান্তর করতে হবে।

উদাহরণ 5. N সন্ধান করুন যদি এটি জানা যায় যে

সমাধান। সম্ভাব্যতার ঠিক উল্লেখিত নিয়মের সাথে, আমরা এই সমতার ডানদিকে লগারিদমগুলির চিহ্নগুলির সামনে দাঁড়িয়ে থাকা 2/3 এবং 1/3 গুণনীয়কগুলিকে এই লগারিদমের লক্ষণগুলির অধীনে সূচকগুলিতে স্থানান্তর করব; আমরা পেতে

এখন আমরা লগারিদমের পার্থক্যটিকে ভাগফলের লগারিদমের সাথে প্রতিস্থাপন করি:

সমতার এই শৃঙ্খলে শেষ ভগ্নাংশটি পেতে, আমরা পূর্ববর্তী ভগ্নাংশটিকে হর-এর অযৌক্তিকতা থেকে মুক্ত করেছি (ধারা 25)।

বৈশিষ্ট্য 7. যদি ভিত্তিটি একের চেয়ে বড় হয়, তাহলে বড় সংখ্যাটির একটি বৃহত্তর লগারিদম থাকে (এবং ছোটটির একটি ছোট থাকে), যদি ভিত্তিটি একের কম হয়, তাহলে বড় সংখ্যাটির একটি ছোট লগারিদম থাকে (এবং ছোট একজনের একটি বড় আছে)।

এই সম্পত্তিটি অসমতার লগারিদম নেওয়ার জন্য একটি নিয়ম হিসাবেও প্রণয়ন করা হয়েছে, যার উভয় দিকই ইতিবাচক:

অসমতার লগারিদমগুলিকে একের বেশি বেসে নেওয়ার সময়, অসমতার চিহ্নটি সংরক্ষিত থাকে এবং যখন একটির চেয়ে কম বেসে লগারিদম করা হয়, তখন অসমতার চিহ্নটি বিপরীতে পরিবর্তিত হয় (এছাড়াও অনুচ্ছেদ 80 দেখুন)।

প্রমাণটি 5 এবং 3 বৈশিষ্ট্যের উপর ভিত্তি করে তৈরি করা হয়েছে। কেসটি বিবেচনা করুন যখন If , তারপর এবং লগারিদম গ্রহণ করলে আমরা পাই

(a এবং N/M ঐক্যের একই পাশে থাকে)। এখান থেকে

কেস একটি অনুসরণ করে, পাঠক নিজেই এটি বের করবে।