Що дає знання фрактальної розмірності. Експериментальні методи визначення фрактальної розмірності. Дивитись що таке "Фрактальна розмірність" в інших словниках

Фрактальна розмірність

Реферат

Фрактальна розмірність 1

Вступ 2

Передісторія 3

Фрактали 5

Класифікації фракталів 5

Геометричні фрактали 6

Алгебраїчні фрактали 6

Стохастичні фрактали 8

Хаусдорфова відстань між множинами 9

Топологічна розмірність 11

Узагальнення формул обсягу n-мірних тіл. 12

Розмірність Мінковського 13

Розмірність Хаусдорфа-Безиковіча 14

Комп'ютерні моделі фракталів 15

Обчислення розмірності Мінковського за допомогою ЕОМ 17

Мультифрактали та узагальнені розмірності Реньї dq 22

Фрактальна розмірність d0 25

Інформаційна розмірність d1 25

Кореляційна розмірність d2 27

Функція мультифрактального спектру f(a) 27

Інші підходи до виміру розмірності. 28

Гармонійний захід 29

Вступ

Наприклад, якщо взяти край дерев'яної лінійки, то вона зазвичай описується за допомогою відрізка прямої лінії. Але сучасні дані говорять про те, що ця крайка далеко не ідеально рівна, - у дрібному масштабі існують різні западини та виступи. Занурюючись далі можна виявити деревні волокна, які складаються з ще дрібніших волокон і пір. У більш дрібному масштабі все це складається з молекул та атомів, які постійно вібрують та змінюються місцями.

Незважаючи на ці нерівності, математична ідеалізація кромки лінійки за допомогою відрізка є найбільш підходящою. Але такі прямі об'єкти – велика рідкість у природі. Що робити з такими формами, які приймають хмари, клуби диму, рельєф гір, русла річок, морські узбережжя, блискавки, шляхи броунівського руху, дифузійні фронти, галактичні скупчення, хвилі в океані, перколяційні кластери, синергетичні структури тощо? У цих об'єктах майже немає жодних класичних гладких ділянок. Традиційна геометрія йде у нескінченну рекурсію під час спроби описати. Підходи до їх опису та кількісних оцінок з'явилися досить недавно. Батьком фрактальної геометрії є Бену Мандельброт. Його фундаментальна праця була вперше опублікована у 1977 році.

У цьому рефераті буде відображено недоліки класичного підходу до опису фізичних явищ та огляд фрактальних величин. У рефераті описані такі фрактальні величини як: різні види рамірності та гармонійний захід. Докладно висвітлено питання, пов'язані з комп'ютерним моделюванням.

Чи не освітленими залишилися питання:

Фрактальні часові ряди та закон Херста,

Співвідношення між мультифрактальним спектром f(a) та показником маси (а)

Дробні похідні та інтеграли

Векторні та скалярні поля з фрактальними характеристиками

Завдання перколяції,

Чи є фрактальна математика новою парадигмою у науці?

Передісторія

Полані писав " ...у науковому дослідженні завжди є якісь деталі, які вчений не удостоює особливої ​​уваги у процесі верифікації точної теорії. Такі особистісна вибірковість є невід'ємною рисою науки."

Більшість вчених намагалися усунутись від важких ліній.

Прикладом може бути історія з кривою Хельге фон Коха описана 1904 року.

Чи не одностайно вчені проголосили криву Коха жахливою! За подробицями звернемося до роботи Хана «Криза здорового глузду». Хан пише: « Характер неспрямлюваної кривої або кривої, до якої неможливо провести дотичну, зовсім не укладається в рамки того, що ми можемо зрозуміти інтуїтивно. Справді, лише після кількох повторень простої операції сегментування фігура, що утворюється, стає настільки складною, що важко піддається безпосередньому сприйняттю, а вже те, чого ця крива прагне в межі, і зовсім неможливо собі уявити. Тільки з допомогою розуму, застосовуючи логічний аналіз, ми можемо остаточно простежити еволюцію цього дивного об'єкта. Якби ми поклалися в даному випадку на здоровий глузд, то складене нами уявлення виявилося б докорінно помилковим, оскільки здоровий глузд неминуче привів би нас до висновку, що кривих, які не мають дотичної в жодній своїй точці, просто не буває; Цей перший приклад неадекватності інтуїтивного підходу зачіпає фундаментальні концепції диференціювання.».

Подібне, одностайне подив математичної спільноти викликала крива Джузеппе Пеано. Ця крива може заповнити всю площину без залишку і при цьому вона не містить самоперетину. Свій внесок у побудову подібних множин зробив Госпер.

Крім Пеано і Коха, свій внесок у кризу зробили Георг Кантор з його безліччю, яка називається «фрактальним канторовим пилом». Також Жанн Перен та Норберт Вінер знайшли нестандартні математичні властивості у давно відомому броунівському русі. Серпінський і Менгер побудували свої відомі множини. Босман збудував Дерево Піфагора. Діріхле навів приклад розривної у кожній точці функції.

Фрактали

Фрактальна форма підвиду цвітної капусти Brassica caulifloraздебільшого фрактали ділять на

Однак є й інші класифікації:

Рукотворні та природні. До рукотворних відносяться ті фрактали, які були придумані вченими, вони за будь-якого масштабу мають фрактальні властивості. На природні фрактали накладається обмеження на сферу існування - тобто максимальний та мінімальний розмір, при яких у об'єкта спостерігаються фрактальні властивості.

Детерміновані (алгебраїчні та геометричні) та недетерміновані (стохастичні).

Геометричні фрактали

У двомірному випадку такі фрактали можна отримати, задавши деяку ламану, яка називається генератором. За один крок алгоритму кожен із відрізків, що становлять ламану, замінюється на ламану-генератор, у відповідному масштабі. Внаслідок нескінченного повторення цієї процедури (а точніше, при переході до межі) виходить фрактальна крива. При видимій складності отриманої кривої, її загальний вигляд задається лише формою генератора.

Прикладами таких кривих є:

• 
  крива дракона;
• 
  крива Коха;
• 
  крива Леві;
• 
  крива Мінковського;
• 
  крива Пеано.

• 
  безліч Кантора;
• 
  трикутник Серпіньського;
• 
  килимок Серпіньського;
• 
  цвинтар Серпінського;
• 
  губка Менгера;
• 
  дерево Піфагора.

Найбільш вивчений двовимірний випадок. Нелінійні динамічні системи можуть мати кілька стійких станів. Кожен стійкий стан (атрактор) має деяку область початкових станів, при яких система обов'язково в нього перейде. Таким чином, фазовий простір розбивається на ділянці тяжіння атракторів.

Якщо фазовим є двомірний простір, то, забарвлюючи області тяжіння різними кольорами, можна отримати фазовий колірний портрет цієї системи (ітераційного процесу). Змінюючи алгоритм вибору кольору, можна отримати складні фрактальні картини з химерними кольоровими візерунками. Несподіванкою для математиків стала можливість за допомогою примітивних алгоритмів породжувати складні нетривіальні структури.

Алгоритм побудови досить простий і ґрунтується на ітеративному вираженні:

де F(z) - якась функція комплексної змінної.

Для всіх точок прямокутної або квадратної області на комплексній площині обчислюємо досить велику кількість разів zi + 1 = F(zi), щоразу знаходячи абсолютне значення z. При цьому значення функції для різних точок комплексної площини можуть мати різну поведінку:

• 
  З часом | z | прагне нескінченності;
• 
  | z | прагне 0;
• 
  | z | приймає кілька фіксованих значень та не виходить за їх межі;
• 
  Поведінка | z | хаотично, без будь-яких тенденцій.

Також можна змінити вигляд фракталу, якщо контроль значення z вести іншим чином, наприклад:

• 
  Дійсна частина z менша за певне число;
• 
  Уявна частина z менша за певне число;
• 
  І уявна і дійсна частини z менша від будь-якого числа;
• 
  Інші методи.

Приклади фракцій алгебри:

• 
  множина Мандельброта;
• 
  безліч Жюлія;
• 
  басейни Ньютона;
• 
  біоморфи.

Нехай Е і F – це 2 непусті компактні підмножини  n

Нехай число r>0.

Нехай B r – замкнута куля із центром на початку координат.

Визначення: дилатація E радіуса r (позначається E + r) називається векторна сума E + B r

Визначення:Відстань Хаусдорфа

H(F,E) = min(>0: E  F +  і F  E + )

Найменше , при якому А  B +  і B  А +  становить 3.5, тобто H(A,B)=3.5.

Розмірність

Існують різні розмірності для множин. Звичні зі шкільної лави уявлення про тривимірний простір, двомірну площину, одновимірну лінію і т.д. мають досить поверхневий і спрощений погляд на все різноманіття, яке приховує в собі термін розмірність. Далі ми розглянемо суворі теорії алгебри, філософські і практичні концепції розмірності. Найчастіше концепції розмірності будуються через виявлення параметрів, що відносяться до множин. Але це єдиний спосіб.

Розмірність залежить від того як її вимірювати. Це означає, що крім формул для підрахунку розмірності необхідно точно поставити і якийсь операційний набір способу вимірювання та інтерпретації розмірності. Традиційно з розмірністю пов'язують кількість незалежних параметрів, необхідних щоб задати положення точки в просторі. Положення точки області площини, обмеженої квадратом можна задати двома вимірами, і тоді її розмірність дорівнюватиме двом. А можна вимудритися, і уявити цю область у вигляді ламаної з дуже сильно притиснутими один до одного ланками, складеними на кшталт столярного метра, наприклад кривої Пеано. Тоді, для завдання положення точки вистачить і одного виміру, і розмірність дорівнюватиме одиниці. Далі ми постараємося навести різні розмірності і способи їх вимірювань і дати інформацію про їх практичне застосування.

Топологічна розмірність

Топологічна розмірність відрізка лінії дорівнює 1, квадрата – 2, куба – 3. У простих явищах вона характеризує найчастіше (але не завжди!) кількість ступенів свободи або кількість параметрів, необхідних для однозначного завдання будь-якої точки множини.

Теорія топологічної розмірності – це розвинена галузь математики. Суворе математичне визначення для метричних та топологічних просторів належить Лебегу і іноді цей вид розмірності називається розмірність Лебега. Також свій внесок зробили Урисон і Брауер.

Топологічна розмірність визначається індуктивним способом, тому її ще іноді низують індуктивною розмірністю.

Наведемо коротке визначення для метричних просторів

Визначення:Для компактного метричного простору X розмірність Лебега визначається як найменше ціле число n, що володіє тим властивістю, що при будь-якому існує кінцеве відкрите покриття X, що має кратність ;

При цьому покриттям метричного простору називається покриття, всі елементи якого мають діаметр , а кратністю кінцевого покриття простору X називається найбільше таке ціле число k, що існує точка простору X, що міститься в k елементах даного покриття.

Премери топологічно одномірних просторів: коло, серветка Серпінського, килимок Серпінського, губка Менгера.

Узагальнення формул обсягу n-мірних тіл.

Наприклад, обсяг n-мірного куба V куба = L n , nN. Для евклідових просторів n приймає лише невід'ємні цілі значення. Формула легко узагальнюється. Для просторів, що задаються фрактальними множинами n, може приймати речові невід'ємні значення. V куб = L D де D  R + .

Відповідне узагальнення можна зробити для кулі

Точний об'єм кулі V кулі = r D (D)

Де Р – безперервна функція. Для цілих чисел Г(n+1)=n!

Для раціональних - Г(x) = o   exp(-t) t x -1 dt,

Розмірність Мінковського

Нехай N() - мінімальна кількість куль радісу , необхідних покриття компактної множини А. Їх сумарний обсяг V пропорційний N() D . При 0 , N()const /  D . Логарифмуємо та отримуємо ln N()ln const - D ln() .

ln 
n const - ln N()

При 0 значення ln(const) зневажливо мало порівняно з ln(N())

Таким чином, приходимо до визначення розмірності Мінковського.

d
ln 

0
im M (A) = D = - lim

Шляхом заміни метрики доводиться, що замість куль можуть бути використані куби.

Слід зазначити, що знаходження мінімальної кількості куль - не тривіальне завдання.

Розглянемо приклад: нехай А є одиничний відрізок у просторі  n. Його можна покрити N кулями радіусу 0.5/N.

ln 0.5/N()

0
D = - lim = 1

Розмірність Хаусдорфа-Безиковіча

Фелікс Хаусдорф зміг довести, що існує єдине речове число d, для якого S  0 і S   при 0 . Свій внесок у суворий доказ теореми зробив Абрам Безікович, тому розмірність d називається розмірність Хаусдорфа-Безиковича.

На початку ця величина не викликала великого інтересу вчених. Але надалі вона сигарала важливу роль у математиці фракталів. У математичній літературі вона позначається як dim H(A).

Комп'ютерні моделі фракталів

1. 
   Клітинний, гратчастий або растровий спосіб. У цьому способі простір представлений у вигляді програмного масиву чисел. Наприклад: var space: array of boolean; Якщо space = true означає елемент, що належить фракталу і навпаки. i,j – цілі числа.
2. 
   Векторний спосіб. Це точніший спосіб. Елементи фракталу представлені у вигляді елементарних фігур, що задаються векторно. У цьому випадку для того, щоб визначити, чи належить точка (x, y) необхідно перебрати елементи фрактала і обчислити, ця точка потрапляє хоч в один елемент. x та y – числа з плаваючою точкою.
3. 
   Функціональний метод. У даному способі щоб визначити чи належить точка (x,y) необхідно обчислити функцію F(x,y) і проаналізувати отримане значення. Насправді всі методи зводяться до функціонального методу. Просто деякі функції можуть обчислюватися аналітично, а деякі звертатися до масивів даних для отримання результату. Ми будемо посилатися на цей метод, маючи на увазі, що використовуються аналітичні функції.

Більшість завдань на даний момент написання реферату використовує клітинний (растровий) метод №1 для моделювання множин. Цей метод має кілька недоліків. Для детального моделювання потрібно Ln клітин. Де L – кількість клітин в одному вимірі n-кількість вимірів. Сучасна потужність комп'ютерів дозволяє безперешкодно моделювати 2-мірні множини. Їх L~ 10 3 . Для моделювання 3х мірних множин вимоги до ОЗП різко зростають. Для таких завдань L ~ 100, що явно замало повноцінного моделювання. Альтернативою клітинної моделі може бути векторна модель.

Застосовність методів моделювання.

Також коротко варто згадати про методи постоения фрактала. Для відновлення геометричних фракталів використовується Система Ітерованих Функцій. Для алгебраїчних використовуються ітерації нелінійних відображень, що задаються простими формулами алгебри. Для стохастичних, все залежить від природи фракталу та стосунків закономірності та випадковостей.

Обчислення розмірності Мінковського за допомогою ЕОМ

За основу береться формула залежності кількості кубів N від довжини грані куба  при малих  у множині, що покриває.

ln const – ln N()  d ln 

Як видно з формули, якщо побудувати графік залежності ln N від ln , то вийде пряма з наколом d.

Вихідне зображення

Ітерація 2

Побудувавши сітки для різних  отримуємо таблицю:

 N 1 917 2 354 3 206 4 141 5 102 6 82 7 66 8 56

ln 

Графік виходить не ідеально рівним. Нахил цього графіка обчислюється шляхом найменших квадратів. У цьому прикладі нахил дорівнює -1.346, тобто d=1.346

Одним з ефектів обчислень може бути наступна ступінчаста поведінка графіка.

Цей ефект проявляється при плавній зміні між ітераціями. На наведеному малюнку різниця між сусідніми точками становить 1%. Ефект проявляється всім типів фракталів і від алгорима підрахунку размерности.

Для клітинних моделей існують природні обмеження 1L. Для векторних моделей обмеження менш суворе 0>L. Це означає, що  можна досить близько наближати до 0, ця близькість обмежена лише точністю обчислень конкретної ЕОМ. Це призводить до ще однієї проблеми. Якщо модель складається з кінцевої кількості векторних об'єктів, то з деякого моменту  може стати набагато менше розміру будь-якого об'єкта. Це призводить до того, що нахил графіка стає рівним топологічної розмірності об'єктів. Тобто проблема полягає в тому, щоб вибрати потрібний діапазон для , який має фізичний сенс. Від вибору діапазону залежить отримувана величина. Інтуїтивно можна припустити, що     L, де середня  – довжина об'єктів, що становлять безліч, а L – розмір всього ансамблю. Вибір діапазону може бути договірним для різних типів явищ, доки не буде створена точна математична теорія для фракталів, що задаються в ЕОМ.

Точковий метод.Точковий метод є альтернативою попередньому методу. Цей метод застосовується до клітинних (растрових) моделей.

Розглянемо сітку, що покриває весь фрактал. Її вузли називатимемо осередками. Кожен осередок, що має з фракталом непусте перетин, вважатимемо за одну точку. Зрозуміло, що ця схема реалізується при графічному виведенні фрактала на екран як масиву пікселів. У цьому параграфі «підрахунок числа точок у клітині» означає підрахунок числа осередків (або пікселів) у клітині. Це не те саме, що вважати дійсне число геометричних точок у клітці - адже їх нескінченно багато. Точковий метод принципово відрізняється від клітинного; у першому підраховується число точок у клітині, тоді як у другому - число клітин, необхідні покриття фрактала. Для спрощення обчислень вважатимемо клітини квадратними. Розмір L клітини означає число клітин по кожній стороні. Обмежимося непарними значеннями L; у цьому випадку центральний осередок клітинибуде рівновіддалена від усіх сторін. Спочатку обчислимо ймовірність Р(m, L) того, що клітина розміру L містить m точок (осередків) фракталу. Для цього навколо кожної точки фракталу, вважаючи її центральною, побудуємо клітину розміру L і підрахуємо кількість точок, що потрапили до неї. Припустимо, що фрактал містить М точок. Тоді P(m, L) дорівнює числу клітин, що містять точок m, m = 1,...,М, поділеному на М. Зауважимо, що сума всіх ймовірностей дорівнює одиниці:

Як і попередньому алгоритмі, N(L) є число клітин розміру L, необхідні покриття фрактала. Як підказує інтуїція, число клітин розміру L, що містять точок, дорівнює (М/m)Р(m,L). Тому оцінка числа клітин, що покривають все зображення, дорівнює

де К - можливе число точок у клітині. Отже,

також пропорційно L d і може бути використаний для оцінки фрактальної розмірності d.

Мультифрактали та узагальнені розмірності Реньї d q

Безліч точок може бути деякою популяцією, що складається з особин одного виду розподілених по області A. Такою популяцією можуть бути, наприклад, населення або мережа метеостанцій. Обидві популяції нерівномірно розподілені поверхні Землі. Просторовий розподіл енергії, розподіл помилок у каналі зв'язку, розподіл домішок у рідких середовищах, мас у речовині – приклади таких популяцій. Важливо, що нерівномірний розподіл особин залишається чинним незалежно від лінійного масштабу.

Розіб'ємо всю область A на гіперкубічні осередки зі стороною  та об'ємом  d відповідно. Далі нас цікавитимуть лише зайняті осередки, в яких міститься хоча б одна точка. Позначимо N() число таких осередків, воно очевидно залежить від . Нехай n i () - число точок в i-му осередку. Тоді величина

Є можливість того, що деяка точка міститься в i-му кубику. Тобто ця можливість характеризує відносну заселеність осередку. За правилом нормування ймовірностей:

Введемо на розгляд так звану узагальнену статистичну суму, що характеризується показником q:

де -  q  +.

Визначення. p align="justify"> Спектром узагальнених фрактальних розмірностей Реньї, що характеризують розподіл точок в області А називається сукупність величин:

Для звичайного однорідного фракталу всі ці розмірності збігаються. Тобто якщо dq = const, тобто. не залежить від q, то розглянуте безліч точок являє собою звичайний, регулярний фрактал, який характеризується лише однією величиною - фрактальною розмірністю d H . Навпаки, якщо функція d q якось змінюється з q, то безліч точок, що розглядається, є мультифракталом.

Таким чином, мультифрактал у загальному випадку характеризується нелінійною функцією (q), що визначає поведінку статистичної суми Z(q,) при 0

Слід пам'ятати, що граничний нерехід при 0 треба виконувати, пам'ятаючи, що завжди передує межа N0.

У разі звичайного фракталу функція

тобто. є лінійною. Тоді всі d q =d і справді не залежать від q. Для фракталу, усі узагальнені фрактальні розмірності d q якого збігаються, часто використовується термін монофрактал.

Якщо розподіл точок по осередках неоднаково, то фрактал неоднорідним, тобто. є мультифракталом, і для його характеристики необхідний цілий спектр узагальнених фрактальних розмірностей d q , число яких, в загальному випадку, нескінченно.

Так, наприклад, при q основний внесок у узагальнену статистичну суму вносять осередки, що містять найбільше число частинок n i в них і, отже, що характеризуються найбільшою ймовірністю їх заповнення p i . Навпаки, при q - основний внесок у суму дають розріджені комірки з малими значеннями чисел заповнення p i . Таким чином, функція d q показує, наскільки неоднорідним є досліджуване безліч точок A.

випливає, що

З іншого боку

Порівнюючи ці дві рівності, ми приходимо до співвідношення N()~ d 0 Це означає, що величина d 0 являє собою звичайну хаусдорфову розмірність множини A. Вона є найбільш грубою характеристикою мультифракталу і не несе інформації про його статистичні властивості.

Тепер, спрямовуючи q1, розкладаючи експоненту та враховуючи умову нормування, отримуємо

В результаті ми приходимо до наступного виразу

З точністю до знака чисельник у цій формулі є ентропією фрактальної множини:

Таке визначення ентропії множини повністю ідентично використовується в термодинаміаку, де під pi розуміється ймовірність виявити систему квантовому стані i . В результаті величина узагальненої фрактальної розмірності d1 пов'язана з ентропією співвідношенням

У термодинаміці ентропія є міра безладдя у системі.

то величина d1 характеризує інформацію, необхідну визначення місця розташування точки в деякому осередку. У зв'язку із цим узагальнену фрактальну розмірність d1 часто називають інформаційною розмірністю. Вона показує, як інформація, необхідна визначення місця розташування точки, зростає при прагненні розміру осередку  до нуля.

Ми дійшли висновку, що узагальнена розмірність d2 визначає залежність кореляційного інтеграла I() від . Тому величину d2 називають кореляційною розмірністю.

При підрахунку статистичної суми у спектрі Реньї підсумовуються осередки з різною заповненістю. Функція ж мультифрактального спектру f(a) характеризує хаусдорфову розмірність однорідного фрактального підмножини A a  A, що характеризується однаковими ймовірностями заповнення осередків p i ~  a . Таким чином стає більш зрозумілим термін мультифрактал – його можна розуміти як поєднання однорідних фракталів.

Типовий вид функції f(a):

Функція f(a) має такі властивості f(a)  d 0, f(a)  а. Знак рівності з'являється для повністю однорідного фракталу.

Інші підходи до виміру розмірності.

Таким прикладом може бути випадкове броунівський рух. Можна розглянути броунівський рух усередині фракталу та порахувати залежність відстані до центру від часу. У роботі професора Шломо аналізується подібний рух у клітинній 2х мірній моделі фракталу та можливі експоненти для різних величин.

Можна відзначити, що одним з таких інтуїтивно зрозумілих процесів є розширення кулі. Якщо визначити поняття кулі в простантві, певним фракталом, то можна подивитися залежність його обсягу від радіусу і тим самим обчислити статечні показники цього розширення. Те саме можна зробити і з площею кулі. Можна відстежувати співвідношення периметра та площі.

Гармонійний захід

Гармонійний захід

Фізичний зміст фрактальних величин

Більшість описів використовують усереднений опис суміші. Скажімо співвідношення об'єму палива до об'єму циліндра нічого не говорить про просторовий розподіл суміші. Вона може бути самотньою як для пари, так і для невеликої калюжі бензину, що знаходиться на дні циліндра. Тобто інформація про площу взаємодії суміші з повітрям безпосередньо не використовується.

З іншого боку, постає питання яка ж ця площа, якщо розподіл нагадує стохастичний фрактал? Величина площі як така не існує, так як вона сильно залежить від точності вимірювання, як у випадку берегової лінії. Замість площі можна виміряти різні фрактальні величини. Експериментально можна з'ясувати, для якої розмірності ефективність горіння суміші максимальна. І тому будувати теорію, яка матиме передбачуваною силою.

Такі міркування можуть виникнути щодо іскрового заряду. На момент опису реферату майже всі підходи до опису розряду мають інтегральний, середній характер. Іскрові розряди часто зламані і розгалужуються. Якщо якісь параметри залежать від довжини іскри чи блискавки, вони можуть бути обчислені через фрактальні характеристики форм каналів. На момент написання реферату подібних даних був представлено у літературі.

Література
HAHN H. The crisis in intuition. The world of mathematics, Newman, Vol. ІІІ. New York; Simon & Schuster, 1956-1976. (Переклад з німецької)

GARDNER, M. У яких «монстер» curves force redefinition of the word «curve». Scientific American. 1976, 235 (випуск за грудень), 124-133.

Полані М. Особистісне знання М. 1985

Метафізика Фрактала М 1996

Цілліс К. Про вимір фрактальних розмірностей за фізичними властивостями. // У зб. статей «Фрактали у фізиці». - М: Мир, 1988.

Р.М Кроновер. Фрактали та хаос у динамічних системах. М.2000

С.В.Божокін, Д.А.Паршин Фрактали та мультифрактали. М.2001

Є.Федер. Фратали. М.1991

Електронна мережева енциклопедія "Вікіпедія". http://ua.wikipedia.org

Б.Мадельброт Фрактальна геометрія природи. М. 2002

R.F. Voss, Random Fractals: Characterization and Measurement, Scaling Phenomena is Disordered Systems, Plenum Press, New York 1985.

Topological properties of percolation clusters S. Havlin, R. Nossal

Поняття «фрактал» та «фрактальна геометрія» виникли у 70-80-х роках минулого століття. Вони міцно увійшли в ужиток математиків і програмістів. Слово "фрактал" походить від латинського fractus, що в перекладі означає дробовий, що складається з фрагментів. Воно було запропоновано американським математиком Бенуа Мандельбротом у 1975 році для позначення нерегулярних (зламаних) самоподібних структур, якими він займався.

За визначенням, даним Мандельбротом, "фракталом називається структура, що складається з частин, які в якомусь сенсі подібні до цілого". Фрактал – це нескінченно самоподібна геометрична фігура, кожен фрагмент якої повторюється при зменшенні масштабу (див. рис. 6). Масштабна інваріантність, що спостерігається у фракталах, може бути точною або наближеною.

Малюнок 6. Самоподібність фракталів на прикладі множини Мандельброта

З математичної точки зору фрактал - це, перш за все, безліч дробової розмірності.

Народження фрактальної геометрії прийнято пов'язувати з виходом у 1977 році книги Мандельброта «Фрактальна геометрія природи», в якій автор зібрав та систематизував наукові результати вчених, які працювали у період 1875-1925 рр. у тій самій області (Пуанкаре, Фату, Жюліа, Кантор, Хаусдорф).

Фрактальна геометрія - це революція в математиці та математичному описі природи. Ось як про це пише сам першовідкривач фрактальної геометрії Б.Мандельброт: «Чому геометрію часто називають холодною та сухою? Однією з причин є її нездатність описати форму хмари, гори, дерева чи берега моря. Хмари – це не сфери, гори – це не конуси, лінії берега – це не кола, і кора не є гладкою, і блискавка не поширюється прямою. Природа демонструє не просто вищий ступінь, а зовсім інший рівень складності» .

Мандельброт показав, що геометрія реального світу не є евклідовою, а фрактальною. «Правильні» евклідові об'єкти є математичною абстракцією, природа ж воліє негладкі, шорсткі, зазубрені форми. До евклідової геометрії додалася нова геометрія, відмінність якої у тому, що вона оперує гладкими об'єктами і звичними формами типу трикутника, квадрата, кола, кулі тощо. Фрактали з великою точністю описують багато фізичних явищ і природні освіти. Сніжинку, морського ковзана, гілки дерев, розряд блискавки та гірські масиви можна намалювати, використовуючи фрактали. Тому багато сучасних вчених говорять про те, що природа має властивість фрактальності.

Фрактальна розмірність

Головна особливість фрактальних об'єктів полягає в тому, що для їх опису недостатньо «стандартної» топологічної розмірності (для простору, для поверхні - для лінії - для точки), яка, як відомо, завжди є цілим числом. Під розмірністю розуміли мінімальне число параметрів, необхідні описи положення точки у просторі. Неспроможність такого наївного сприйняття стала очевидною після відкриття взаємно однозначної відповідності між точками відрізка та квадрата та безперервного відображення відрізка на квадрат (див. рис. 7). Перше було побудовано Кантором (1877 р.), друге -- Пеано (1890 р.).

Малюнок 7. Побудова лінії Пеано

Фракталам властива геометрична «порізаність». Тому використовується спеціальне поняття фрактальної розмірності, запроваджене Ф. Хаусдорфом та А.С. Безіковічем. Стосовно ідеальних об'єктів класичної евклідової геометрії вона давала ті ж чисельні значення, що й топологічна розмірність, проте нова розмірність мала більш тонку чутливість до різноманітних недосконалостей реальних об'єктів, дозволяючи розрізняти і індивідуалізувати те, що раніше було безлико і нерозрізнено. Цей тонкий інструмент дозволяє зробити висновок, до якого звичайного геометричного об'єкта - точки, лінії або площини - ближче конкретної екзотичної фрактальної множини.

Мандельброт дав суворе математичне визначення фракталу, як множини, хаусдорфова розмірність якого, строго більша за його топологічну розмірність. У той час як гладка евклідова лінія заповнює точно одномірний простір, фрактальна крива вторгається в двовимірний простір, тому що її розмірність знаходиться між 1 і 2. Фрактали - нескінченно-зламані, «махрові» лінії. Вони нагадують гармошку, кожен шматочок якої, навіть дуже маленький, якщо спробувати його розпрямити, виявляється нескінченно довгим.

Обговоримо фрактальну розмірність з прикладу регулярних фракталів (математична абстракція). Розглянемо спочатку відрізок одиничної довжини, який розбитий на рівних шматків завдовжки, отже. У міру зменшення значення зростає лінійно, що й слід було очікувати одномірної кривої. Аналогічно, якщо розділимо квадрат одиничної площі на рівних квадратиків зі стороною, то отримаємо - очікуваний для двовимірного об'єкта результат. Можна стверджувати, що у випадку, де - розмірність об'єкта (див. рис. 8).

Рисунок 8. Покриття об'єкта n-мірними кубиками

Отже, логарифмуючи обидві частини цієї рівності і перейшовши до межі, що прагне до нуля, можна виразити розмірність у вигляді:

Ця рівність є визначенням хаусдорфової або фрактальної розмірності, яка зазвичай набуває дробових значень.

Наведемо приклад безлічі, що складається з окремих точок, але мають їх стільки, скільки будь-який відрізок дійсної осі. Візьмемо відрізок довжини 1. Розділивши його на три рівні частини, виключимо середню частину. З двома відрізками, що залишилися, проробимо ту ж процедуру і в результаті отримаємо 4 відрізки в 1/9 довжини кожен і т.д. до нескінченності - рис. 9.

Малюнок 9. Побудова множини Кантора

Безліч точок, що виникла після цієї процедури, є безліччю Кантора. Неважко помітити, що довжина цієї множини дорівнює нулю. Справді,

Знайдемо тепер його хаусдорфову чи фрактальну розмірність. Для цього виберемо як «еталон» відрізок завдовжки

Мінімальна кількість таких відрізків, необхідних для покриття множини, дорівнює

Тому його фрактальна розмірність

Також, розмірність можна визначити, виходячи із залежності зміни розмірів тієї частини простору, яку об'єкт займає, від зміни його лінійних розмірів :

Для лінії. Для площини. Для обсягу.

Проробимо такий експеримент: візьмемо рівносторонній трикутник і послідовно замінюватимемо кожну лінію, що становить його, на чотири інших, як це показано на малюнку 10.

Малюнок 10. Побудова сніжинки Кох

Повторюючи цю операцію досить довго, ми отримаємо якийсь об'єкт, що нагадує своїм зовнішнім виглядом сніжинку (називається - сніжинка Кох), причому з кожним кроком довжина кривої, що обмежує площу сніжинки, збільшується на одну третину. Її розмірність дорівнюватиме, оскільки при кожному збільшенні сніжинки втричі довжина кривої збільшується в чотири. Якщо спрямувати число ітерацій до нескінченності, вийде об'єкт, кінцева площа якого обмежується нескінченною кривою.

Мандельброт запропонував таке пробне визначення фракталу:

Фракталом називається безліч, розмірність Хаусдорфа-Безиковича якого строго більша за його топологічну розмірність

Це визначення своєю чергою вимагає визначень термінів безліч, розмірність Хаусдорфа-Безиковича і топологічна розмірність що завжди дорівнює цілому. Для наших цілей ми віддаємо перевагу вельми нестрогім визначенням цих термінів і наочним ілюстраціям (з використанням простих прикладів), а не більш строгий, але формальний виклад тих же понять. Мандельброт звузив своє попереднє визначення, запропонувавши замінити його наступним

Фрактал називається структура, що складається з частин, які в якомусь сенсі подібні до цілого.

Суворого та повного визначення фракталів поки що не існує. Справа в тому, що перше визначення за всієї правильності і точності занадто обмежує. Воно виключає багато фракталів, що зустрічаються у фізиці. Друге визначення містить істотну відмітну ознаку, що підкреслюється в нашій книзі і спостерігається в експерименті: фрактал виглядає однаково, в якому б масштабі його не спостерігати. Взяти хоча б деякі чудові купові хмари. Вони складаються з величезних «горбів», на яких височіють «горби» менші, на тих – «горби» ще менше і т.д. аж до найменшого масштабу, який ви можете дозволити. Насправді, маючи лише зовнішній вигляд хмар і не використовуючи жодної додаткової інформації, розмір хмар оцінити неможливо.

Фрактали, про які йтиметься в цій книзі, можна розглядати як безліч точок, вкладених у простір. Наприклад, безліч точок, що утворюють лінію у звичайному евклідовому просторі, має топологічну розмірність і розмірність Хаусдорфа - Безіковіча Евклідова розмірність простору дорівнює Так як для лінії лінія, згідно з визначенням Мандельброта, не фрактальна, що підтверджує розумність визначення. Аналогічно безліч точок, що утворюють поверхню в просторі з топологічною розмірністю Ми бачимо, що і звичайна поверхня не фрактальна незалежно від того, наскільки вона складна. Нарешті, куля, або повна сфера, має ці приклади дозволяють визначити деякі з аналізованих нами типів множин.

Центральне місце у визначенні розмірності Хаусдорфа - Безіковіча і, отже, фрактальної розмірності займає поняття відстані між точками у просторі. Як виміряти «величину»

множини У точок у просторі? Простий спосіб виміряти довжину кривих, площу поверхонь або об'єм тіла полягає в тому, щоб розділити простір на невеликі куби з ребром 8, як показано на рис. 2.5. Замість кубів можна було б узяти невеликі сфери діаметром 8. Якщо помістити центр малої сфери в якійсь точці множини, то всі точки, що знаходяться від центру, на відстані виявляться покритими цією сферою. Підраховуючи кількість сфер, необхідних покриття цікавої для нас безлічі точок, ми отримуємо міру величини множини. Криву можна виміряти, визначаючи число прямолінійних відрізків довжини 8, необхідних у тому, щоб покрити її. Зрозуміло, для звичайної кривої Довжина кривої визначається граничним переходом

У межі прикладу стає асимптотично рівною довжині кривої і не залежить від 8.

Безліч точок можна поставити у відповідність і площу. Наприклад, площа кривої можна визначити, вказуючи кількість кіл або квадратів, необхідних її покриття. Якщо число цих квадратів, а площа кожного з них, то площа кривої дорівнює

Аналогічно об'єм V кривої можна визначити як величину

Мал. 2.5. Вимірювання «величини» кривої.

Зрозуміло, що для звичайних кривих звертаються в нуль при , і єдиною мірою, що представляє інтерес, є довжина кривої.

Як неважко бачити, для звичайної поверхні число квадратів, необхідних для її покриття, визначається в межі при виразі де площа поверхні.

Поверхні можна поставити у відповідність об'єм, утворюючи суму об'ємів кубів, необхідних покриття поверхні:

При цьому обсяг, як і слід очікувати, перетворюється на нуль.

Чи можна поверхні поставити у відповідність якусь довжину? Формально ми можемо прийняти таку довжину величину

Цей результат має сенс, оскільки поверхню неможливо покрити кінцевим числом прямолінійних відрізків. Ми укладаємо, що єдиною змістовною мірою безлічі точок, що утворюють поверхню в тривимірному просторі, є площа.

Неважко бачити, що безліч точок, що утворюють криві, можуть

Мал. 2.6. Вимірювання «величини» поверхні.

бути закрученими так сильно, що довжина їх виявиться нескінченною, і дійсно існують криві (криві Пеано), що заповнюють площину. Існують також поверхні, вигнуті настільки химерним чином, що вони заповнюють простір. Для того щоб ми могли розглядати і такі незвичайні множини точок, корисно узагальнити введені нами заходи величини множини.

До цих пір, визначаючи міру величини безлічі точок У в просторі, ми вибирали деяку пробну функцію відрізок прямий, квадрат, коло, куля або куб - і покривали безліч, утворюючи міру для прямолінійних відрізків, квадратів і кубів. укладаємо, що у випадку приклад дорівнює нулю чи нескінченності залежно від вибору -размерности заходи. Розмірність Хаусдорфа-Безиковича безлічі є критична розмірність, за якої міра змінює своє значення з нуля на нескінченність:

Ми називаємо мірою множини. Значення при часто звичайно, але може дорівнювати нулю або нескінченності; істотно, за якого саме значення величина змінюється стрибком. Зауважимо, що у наведеному вище визначенні розмірність Хаусдорфа-Безиковича фігурує як локальна властивість у тому сенсі, що ця розмірність характеризує властивості множин точок у межі при зникаюче малому діаметрі, або розмірі 8 пробної функції, що використовується для покриття множини. Отже, фрактальна розмірність може бути локальною характеристикою множини. Насправді тут існує кілька тонких пунктів, що заслуговують на розгляд. Зокрема, визначення розмірності Хаусдорфа-Безиковича дозволяє покривати безліч «шарамтк не обов'язково одного і того ж розміру за умови, що діаметри куль менше 8. У цьому випадку - міра є нижня грань, тобто, грубо кажучи, мінімальне значення, одержуване при всіх можливих покриттях. Приклади див. 5.2. Суворий математичний виклад запитання знайдуть у книзі Фальконера.

Межа і говорити відповідно про верхню та нижню розмірність Мінковського.

Близьким до розмірності Мінковського поняттям є розмірність Хаусдорфа. У багатьох випадках ці розмірності збігаються, хоча існують множини, для яких вони різні.

Приклади

Більш детально

Неформальна міркування, що показує це, є такою. Відрізок можна розбити на 2 частини, подібні до вихідного відрізка з коефіцієнтом 1/2. Щоб покрити відрізок множинами діаметра 1/ n, потрібно покрити кожну половину такими множинами. Але для половини їх потрібно стільки ж, скільки для всього відрізка множин діаметра. n. Тому для відрізка маємо. Тобто при збільшенні nвдвічі ρ( n) збільшується теж удвічі. Іншими словами, ρ( n) - Лінійна функція.

Для квадрата аналогічне міркування дає. Тобто при збільшенні nвдвічі ρ( n) збільшується у 4 рази. Іншими словами, ρ( n) – квадратична функція. Нарешті, крива Коха складається з 4 частин, кожна з яких подібна до вихідної кривої з коефіцієнтом 1/3. Тому для неї. Підставляючи n = 3 k, Отримуємо . Звідси випливає, що розмірність дорівнює ln4 / ln 3 .

Формально: нехай n - крок фракталу, на n-му кроці у нас буде 4 nрівних відрізків, довжиною 3 − n. Візьмемо за ε відрізок завдовжки 3 − n, тоді щоб покрити всю криву Коха, нам знадобиться 4 nвідрізків. Щоб виконувати умову ε→0, спрямуємо n→. Отримаємо

Властивості

• Розмірність Мінківського кінцевого об'єднання множин дорівнює максимуму їх розмірностей. На відміну від розмірності Хаусдорфа, це неправильно для лічильного об'єднання. Наприклад, безліч раціональних чисел між 0 і 1 має розмірність Мінковського 1, хоча є лічильним поєднанням одноелементних множин (розмірність кожного з яких дорівнює 0). Приклад замкнутої лічильної множини з ненульовою розмірністю Мінковського наведено вище.
• Нижня розмірність Мінковського будь-якої множини більша або дорівнює його розмірності Хаусдорфа.
• Розмірність Мінковського будь-якої множини дорівнює розмірності Мінковського його замикання. Тому має сенс говорити лише про розмірності Мінківського замкнених множин.

Див. також

Wikimedia Foundation. 2010 .

• Фракія (іст. область на Балканському п-ві)
• Фрактальний всесвіт

Дивитись що таке "Фрактальна розмірність" в інших словниках:

Розмірність (значення)- Розмірність: У математиці Теорія розмірності є частиною топології, в якій вивчаються розмірності числові топологічні інваріанти певного типу. Розмірність простору кількість незалежних параметрів, необхідних для … Вікіпедія

Розмірність- Розмірність: У математиці Теорія розмірності є частиною топології, в якій вивчаються розмірності числові топологічні інваріанти певного типу. Розмірність простору – кількість незалежних параметрів, необхідних для опису стану… … Вікіпедія

Фрактальна графіка- Безліч Мандельброта класичний зразок фракталу Фрактал (лат. fractus подрібнений) термін, що означає геометричну фігуру, що має властивість самоподібності, тобто складену з декількох частин, кожна з яких подібна до всієї фігури ... Вікіпедія

Фрактальний всесвіт

Фрактальна космологія- Теорія нескінченної вкладеності матерії (фрактальна теорія) на противагу атомізму, альтернативна філософська, фізична та космологічна теорія. Ця теорія ґрунтується на індуктивних логічних висновках про будову спостережуваної… … Вікіпедія

Фрактальна теорія- Теорія нескінченної вкладеності матерії (фрактальна теорія) на противагу атомізму, альтернативна філософська, фізична та космологічна теорія. Ця теорія ґрунтується на індуктивних логічних висновках про будову спостережуваної… … Вікіпедія

Турбулентність- Про фільм з такою назвою див. турбулентність (фільм). Механіка суцільних середовищ ... Вікіпедія

Безладна течія

Турбулентний потік- Механіка суцільних середовищ Суцільне середовище Класична механіка Закон збереження маси · Закон збереження імпульсу … Вікіпедія

Турбуленція- Механіка суцільних середовищ Суцільне середовище Класична механіка Закон збереження маси · Закон збереження імпульсу … Вікіпедія

Книги

• Динамічний хаос, С. П. Кузнєцов. Викладаються основи уявлень про динамічний хаос - феномен, який активно досліджується останнім часом і зустрічається в нелінійних системах різної природи - механічних,…

Третьою властивістю фракталів є те, що фрактальні об'єкти мають розмірність, відмінну від Евклідової (тобто топологічна розмірність). Фрактальна розмірність є показником складності кривої. Аналізуючи чергування ділянок з різною фрактальною розмірністю та тим, як на систему впливають зовнішні та внутрішні чинники, можна навчитися передбачати поведінку системи. І що найголовніше, діагностувати та передбачати нестабільні стани.

В арсеналі сучасної математики Мандельброт знайшов зручну кількісну міру неідеальності об'єктів – звивистості контуру, зморшкуватості поверхні, тріщинуватості та пористості об'єму. Її запропонували два математики – Фелікс Хаусдорф (1868-1942) та Абрам Самойлович Безікович (1891-1970). Нині вона заслужено має славні імена своїх творців – розмірність Хаусдорфа – Безіковіча. Що таке розмірність і для чого вона нам знадобиться стосовно аналізу фінансових ринків? До цього нам був відомий лише один вид розмірності – топологічна (рис.3.11). Саме слово розмірність показує, скільки вимірів має об'єкт. Для прямої лінії вона дорівнює 1, тобто. ми маємо лише один вимір, а саме довжину прямої. Для площини розмірність буде 2, оскільки маємо двомірний вимір, довжина і ширина. Для простору або об'ємних об'єктів розмірність дорівнює 3: довжина, ширина і висота.

Давайте розглянемо приклад із комп'ютерними іграми. Якщо гра зроблена у 3D графіці, вона просторова і об'ємна, якщо у 2D графіці – графіка зображується на площині (рис.3.10).

Найнезвичайніше (правильніше було б сказати – незвичне) у розмірності Хаусдорфа – Безіковіча було те, що вона могла приймати не лише цілі, як топологічна розмірність, а й дробові значення. Рівна одиниці для прямої (нескінченної, напівнескінченної або кінцевого відрізка), розмірність Хаусдорфа – Безиковича збільшується у міру зростання звивистості, тоді як топологічна розмірність завзято ігнорує всі зміни, що відбуваються з лінією.

Розмірність характеризує ускладнення множини (наприклад, прямий). Якщо це крива, з топологічною розмірністю рівною 1 (пряма лінія), то криву можна ускладнити шляхом нескінченного числа згинань і розгалужень настільки, що її фрактальна розмірність наблизиться до двох, тобто. заповнить майже всю площину (рис.3.12).

Збільшуючи своє значення, розмірність Хаусдорфа - Безіковіча не змінює його стрибком, як зробила б "на її місці" топологічна розмірність, перехід з 1 відразу до 2. Розмірність Хаусдорфа - Безіковіча - і це на перший погляд може здатися незвичним і дивним, набуває дробових значень : рівна одиниці для прямої, вона стає рівною 1,15 для злегка звивистої лінії, 1,2 – для більш звивистої, 1,5 – для дуже звивистої і т.д. (Рис.3.13).

Саме для того, щоб особливо підкреслити здатність розмірності Хаусдорфа – Безіковіча набувати дробових, неціліших, значень, Мандельброт і придумав свій неологізм, назвавши її фрактальною розмірністю. Отже, фрактальна розмірність (не тільки Хаусдорфа – Безіковіча, а й будь-яка інша) – це розмірність, здатна набувати необов'язково цілі, а й дробові значення.

Для лінійних геометричних фракталів розмірність характеризує їх самоподібність. Розглянемо рис.3.17 (а), лінія складається з N=4 відрізків, кожен із яких має довжину r =1/3. У результаті отримуємо співвідношення:

D = logN/log(1/r)

Зовсім справа інакше, коли ми говоримо про мультифрактал (нелінійні об'єкти). Тут розмірність втрачає свій зміст як визначення подоби об'єкта і визначається за допомогою різних узагальнень, значно менш природних, ніж унікальна розмірність самоподібних лінійних фракталів. У мультифракталах ролі показника розмірності виступає значення М. Більш детально, ми розглянемо це у розділі «Визначення циклу на валютному ринку».

Розмір фрактальної розмірності може бути індикатором, визначальним кількість чинників, які впливають систему. На валютному ринку розмірністю можна охарактеризувати волатильність ціни. Для кожної валютної пари характерно свою поведінку. У пари GBP/USD поведінка більш імпульсивна, ніж у EUR/USD. Найцікавіше в тому, що дані валюти рухаються однаковою структурою до цінових рівнів, однак, розмірність у них різна, що може позначитися на внутрішньоденній торгівлі і на змінах моделі, що вислизають від недосвідченого погляду.

При фрактальної розмірності менше 1.4 на систему впливає одна або кілька сил, що рухають систему в одному напрямку. Якщо розмірність близько 1.5, то сили, що діють систему, різноспрямовані, але більш-менш компенсують одна одну. Поведінка системи у разі є стохастичним і добре описується класичними статистичними методами. Якщо ж фрактальна розмірність значно більше 1,6, система стає нестійкою і готова перейти в новий стан. Звідси можна дійти невтішного висновку, що чим складнішу структуру ми спостерігаємо, тим більше зростає ймовірність потужного руху.

На рис.3.14 показана розмірність стосовно математичної моделі, щоб ви глибше перейнялися значення даного терміна. Зверніть увагу, що у всіх трьох малюнках зображено один цикл. На рис.3.14(а) розмірність дорівнює 1.2, на рис.3.14(б) розмірність дорівнює 1.5, але в рис.3. 14(в) 1.9. Видно, що зі збільшенням розмірності сприйняття об'єкта ускладнюється, зростає амплітуда коливань.

На фінансових ринках розмірність знаходить свій відбиток у ролі волатильності ціни, а й у ролі деталізації циклів (хвиль). Завдяки ній ми зможемо розрізняти належність хвилі до певного масштабу часу.

На рис.3.15 зображено пару EUR/USD у денному масштабі цін. Зверніть увагу, чітко видно цикл, що сформувався і початок нового, більшого циклу. Перейшовши на годинний масштаб і збільшивши один із циклів, ми зможемо помітити дрібніші цикли, і частину великого, розташованого в масштабі D1 (рис.3.16). Деталізація циклів, тобто. їх розмірність дозволяє нам визначити за початковими умовами, як може надалі розвиватися ситуація. Ми можемо сказати, що: фрактальна розмірність відбиває властивість масштабної інваріантності розглянутої множини.

Поняття інваріантності запроваджено Мандельбротом від слова «scalant» – масштабований, тобто. коли об'єкт має властивість інваріантності, він має різні рівні (масштаби) відображення.

На малюнку навколо "А" виділено міні цикл (деталізована хвиля), навколо "Б" - хвиля більшого циклу. Завдяки розмірності хвиль ми завжди зможемо визначити розмір циклу.

Отже, можна сказати, що фрактали як моделі застосовують у тому випадку, коли реальний об'єкт не можна у вигляді класичних моделей. А це означає, що ми маємо справу з нелінійними зв'язками та недетермінованою (випадковою) природою даних. Нелінійність у світоглядному значенні означає безліч шляхів розвитку, наявність вибору з альтернативних шляхів та певного темпу еволюції, а також незворотність еволюційних процесів. Нелінійність у математичному сенсі означає, певний вид математичних рівнянь (нелінійні диференціальні рівняння), що містять шукані величини в ступенях, більше одиниці або коефіцієнти, що залежать від властивостей середовища.

Коли застосовуємо класичні моделі (наприклад, трендові, регресійні тощо. буд.), говоримо, що майбутнє об'єкта однозначно детерміновано, тобто. повністю залежить від початкових умов та піддається чіткому прогнозу. Ви можете самостійно виконати одну з таких моделей в Excel. Приклад класичної моделі можна як постійно убутній, чи зростаючою тенденції. І ми можемо передбачити її поведінку, знаючи минуле об'єкта (початкові дані для моделювання). А фрактали застосовуються у тому випадку, коли об'єкт має кілька варіантів розвитку та стан системи визначається положенням, у якому вона перебуває на даний момент. Тобто ми намагаємося змоделювати хаотичний розвиток з огляду на початкові умови об'єкта. Саме такою системою є міжбанківський валютний ринок.

Давайте тепер розглянемо, як із прямої можна отримати те, що ми називаємо фракталом, з властивими йому властивостями.

На рис.3.17(а) зображено криву Коху. Візьмемо відрізок лінії, її довжина = 1, тобто. поки що топологічна розмірність. Тепер ми розділимо її на три частини (кожна по 1/3 довжини) і видалимо середню третину. Але ми замінимо середню третину двома відрізками (кожен по 1/3 довжини), які можна уявити, як дві сторони рівностороннього трикутника. Це стадія два (b) конструкції зображено на рис.3.17(а). У цій точці ми маємо 4 менші частки, кожна по 1/3 довжини, так що вся довжина – 4(1/3) = 4/3. Потім ми повторюємо цей процес для кожної з 4 менших частин лінії. Це – стадія три (c). Це дасть нам 16 ще менших частин лінії, кожна по 1/9 довжини. Отже, вся довжина тепер 16/9 або (4/3)2. Через війну отримали дробову розмірність. Але не тільки це відрізняє структуру, що утворилася, від прямої. Вона стала самоподібною і в жодній її точці неможливо провести дотичну (рис.3.17(б)).